2.2 基本不等式（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版 2019）

2．2　基本不等式 [学习目标] 1.掌握基本不等式≤(a，b≥0)，发展数学抽象和直观想象的核心素养(重点).2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题，发展逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养(难点)． 要点一　基本不等式 1．重要不等式：对于任意实数a，b，都有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 2．基本不等式：对于任意正数a，b，都有≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 3．几何平均数与算术平均数：对于两个正数a，b，叫做　a与b的几何平均数，叫做a与b的算术平均数． 4．用文字语言表述基本不等式≤为“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”． 要点二　应用基本不等式求最值 如果x，y都是正数，那么 (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值. 思考：使用基本不等式求最值时需要注意的三个条件是什么？ 提示　(1)一正：符合基本不等式≥成立的前提条件，即a>0，b>0. (2)二定：化不等式的一边为定值． (3)三相等：必须存在“＝”成立的条件． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)基本不等式中的a，b可以是任意值为正数的代数式．(　　) (2)两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值．(　　) (3)在重要不等式中，“当且仅当a＝b时，等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的等价条件．(　　) (4)多次使用基本不等式时，等号一定可以取到．(　　) 提示　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 探究一　利用基本不等式证明不等式和比较大小 误区防错 利用基本不等式证明不等式和比较大小时应注意的几点 (1)注意基本不等式≤成立的条件是a>0，b>0. (2)如果式子不具备基本不等式的特点，则需通过加、减项的方法拼凑成可用基本不等式的形式． (3)利用基本不等式比较大小时，要注意观察其形式(和或积)． (4)多次使用基本不等式时，要注意等号能否同时成立． (5)灵活应用基本不等式的变形形式，注重基本不等式的变形应用．基本不等式的常见变形有：①a＋b≥2(a>0，b>0)；②ab≤；③a＋≥2(a>0)；④＋≥2(a，b同号)． 【例题1】 已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：·≥9. 证明 因为a，b为正数，a＋b＝1，所以ab≤2＝，于是≥4，≥8，所以＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋≥1＋8＝9，当且仅当a＝b＝时，等号成立． 【变式1】 已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：≥8. 证明 因为a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1， 所以－1＝＝≥>0. 同理，－1≥>0，－1≥>0. 所以≥··＝8，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 【例题2】 已知a，b，c都是非负实数，试比较＋＋与(a＋b＋c)的大小． 解析　因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2， 所以≥(a＋b)． 同理，≥(b＋c)，≥(c＋a)． 所以＋＋≥[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]＝(a＋b＋c)． 故＋＋≥ (a＋b＋c)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 【变式2】 若a＞0，b＞0，设A＝，B＝，C＝，D＝，则A，B，C，D的大小关系为____________. 解析　因为a＞0，b＞0，所以≥，当且仅当a＝b时，等号成立． 因为A－B＝－＝－＝－， 且a2＋b2≥2ab＞0，所以A－B≥0， 所以≥，当且仅当a＝b时，等号成立． 因为＝，且a＞0，b＞0， 所以a＋b≥2. 所以0＜≤， 所以≤＝， 所以≥，当且仅当a＝b时，等号成立． 所以≤≤≤，当且仅当a＝b时，等号成立．所以A≥B≥C≥D. 答案 A≥B≥C≥D 探究二　利用基本不等式求最值 规律总结 基本不等式在求最值中的使用方法 (1)拆项、添项、配凑等方法常用在求分式型函数的最值中． (2)常值代换．这种方法常用于“已知ax＋by＝m(a，b，x，y均为正数)，求＋的最小值”和“已知＋＝1(a，b，x，y均为正数)，求x＋y的最小值”两种类型． (3)构造不等式．当和与积同时出现在同一个等式中时，可利用基本不等式构造一个不等式从而求出和或积的取值范围． 【例题3】 (1)已知t>0，求函数y＝t＋－4的最小值． (2)已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1，求xy的最大值． (3)已知a>0，b>0，且ab＝1，求＋＋的最小值． 解析　(1)依题意得y＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝1时，等号成立，即函数y＝t＋－4(t>0)的最小值是－2. (2)依题意，因为x>0，y>0，＋＝1，所以＋≥2＝，当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时，等号成立，即≤1，解得xy≤3，所以xy的最大值为3. (3)依题意得＋＋＝＋＝＋≥