2.1 等式性质与不等式性质（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版 2019）

第二章　一元二次函数、方程和不等式 2．1　等式性质与不等式性质 [学习目标] 1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，培养数学抽象的核心素养.2.掌握不等式的性质，发展逻辑推理和数学运算的核心素养(重点)．　 要点一　不等关系与不等式 1．用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或两个代数式，以表示它们之间的不等关系． 2．含有不等号的式子，叫做不等式． 3．a≥b即为a＞b或a＝b；a≤b即为a＜b或a＝b. 要点二　实数的大小比较 实数的大小比较常用作差法，其理论依据是a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b. 要点三　等式和不等式的基本性质 1．等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c. (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的基本性质 (1)对称性：a>b⇔b<a. (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：a>b⇒a＋c>b＋c. (4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc. (5)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d. (6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd. (7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn>0(n∈N，n≥2). 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)两个同向不等式可以同向相加，所以两个同向不等式能够同向相减．(　　) (2)在利用不等式的性质时，一定要注意性质的前提条件是否具备．(　　) (3)若a≤b，b＜c，则a≤c.(　　) (4)若a＞b，则ac2＞bc2.(　　) 提示　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 探究一　用不等式(组)表示不等关系 规律总结 (1)将不等关系表示成不等式(组)的思路 ①读懂题意，找准不等式所联系的量； ②用适当的不等号连接； ③多个不等关系用不等式组表示． (2)常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字 语言 大于、高 于、超过 小于、低 于、少于 大于等于、 至少、不低于 小于等于、 至多、不超过 符号语言 ＞ ＜ ≥ ≤ (3)利用不等式表示不等关系时应注意的两点 ①必须是具有相同性质、可以比较大小的两个量才可用不等式来表示，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示． ②在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一． 【例题1】 下列说法正确的是(　　) A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．某变量y不超过a可表示为“y≤a” C．某变量x至少为a可表示为“x>a” D．小明的身高为x cm，小华的身高为y cm，则小明比小华矮可表示为“x>y” 答案　B 解析　对于A项，某人月收入x不高于2 000元可表示为x≤2 000，错误；对于B项，某变量y不超过a可表示为y≤a，正确；对于C项，某变量x至少为a可表示为x≥a，错误；对于D项，小明的身高为x cm，小华的身高为y cm，小明比小华矮可表示为x<y，错误．故选B项． 【变式1】 有粮食和石油两种物资，可用轮船和飞机两种方式运输，每天每艘轮船可运输粮食300 t，石油250 t，每架飞机可运输粮食150 t，石油100 t．现在要在一天内至少运输2 000 t粮食和1 500 t石油．写出安排轮船艘数和飞机架数所满足的所有不等关系的不等式组． 解析　设需安排x艘轮船和y架飞机， 则即 探究二　用作差法比较大小 规律总结 作差法比较两个实数(代数式)大小的步骤 第一步：作差并变形，其目标应是容易判断差的符号．变形有两种情形：①将差式进行因式分解转化为几个因式相乘；②将差式通过配方转化为几个非负数之和，然后判断． 第二步：判断差值与零的大小关系． 第三步：得出结论． 【例题2】 已知x<－1，比较x3＋1与－2x2－2x的大小． 解析　x3＋1－(－2x2－2x)＝x3＋2x2＋2x＋1 ＝(x3＋x2)＋(x2＋2x＋1)＝(x＋1)(x2＋x＋1) ＝(x＋1). 因为x<－1，所以x＋1<0. 又因为2＋>0， 所以(x＋1)<0， 所以x3＋1<－2x2－2x. 【变式2】 已知x∈R，m∈R，比较x2＋x＋1与－2m2＋2mx的大小． 解析　因为x2＋x＋1－(－2m2＋2mx) ＝x2－(2m－1)x＋2m2＋1 ＝2－(2m－1)2＋2m2＋1 ＝2＋m2＋m＋ ＝2＋2＋>0， 所以x2＋x＋1>－2m2＋2mx. 探究三　利用不等式的性质证明简单不等式 误区防错 利用不等式的性质证明简单不等式的方法及注意点 (1)简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质，通过对不等式变形得证． (2)对于不等号两边式子都比较复杂