第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末复习方案（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版 2019）

章末复习方案 探究一　不等式的性质及应用 此类题型一般不单独以纯粹比较两式大小或求取值范围的问题出现，而是以判断不等式恒成立的形式，要求从整体上把握、运用不等式的性质．常见的考法有性质的简单应用、比较大小和求取值范围． (1)应用不等式的性质解题的常见类型及方法 ①不等式的性质与充要条件、求取值范围、证明与推导不等式的综合问题，应注意观察从已知不等式到目标不等式的变化，它是如何变形的，这些变形是否符合不等式的性质． ②恰当运用赋值法和淘汰法解答选择题、填空题． (2)比较大小 ①作差法的步骤：作差并变形―→判断差的符号―→结论． 解题过程中只要判断差的符号(正负号)，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式积的形式．关键步骤是变形，主要是利用通分、因式分解、配方等，变形是为了更有利于判断符号． ②此外，还可应用中间量法或赋予特殊值的方法比较大小． (3)求取值范围 由a<f(x，y)<b，c<g(x，y)<d，求F(x，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)(或其他形式)，通过恒等变形求得m，n的值，再利用不等式的同向可加和同向同正可乘的性质求得F(x，y)的取值范围． 【真题1】 (1)设a＜0，－1<b<0，那么下列各式中正确的是(　　) A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞a C．ab＞ab2＞a D．ab＞a＞ab2 (2)已知α，β满足则α＋3β的取值范围是(　　) A．1≤α＋3β≤7 B．－5≤α＋3β≤13 C．－5≤α＋3β≤7 D．1≤α＋3β≤13 解析　(1)因为－1＜b＜0，a＜0，所以ab＞0，b＜0＜1，b2＜1.所以ab－ab2＝ab(1－b)＞0，ab2－a＝a(b2－1)＞0.所以ab＞ab2＞a.故选C项． (2)设α＋3β＝m(α＋β)＋n(α＋2β)＝(m＋n)α＋(m＋2n)β.比较α，β的系数，得从而解出m＝－1，n＝2.分别由得－1≤－α－β≤1,2≤2α＋4β≤6，两式相加得1≤α＋3β≤7.故α＋3β的取值范围是1≤α＋3β≤7.故选A项． 答案 (1)C　(2)A 探究二　利用基本不等式求最值 求最值时的常见情形 (1)若直接满足基本不等式的条件，即满足求最值的三个前提条件“一正、二定、三相等”，则直接应用基本不等式． (2)若不能直接满足基本不等式的条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换，对不等式进行分拆、组合、添加系数等方法使之能变成可用基本不等式的形式，创造使不等式中等号成立的条件．具体思路是：当运用基本不等式a＋b≥2(a>0，b>0)求最小值时，若不具备积为定值的条件，可以通过构造使其积为定值；当运用基本不等式的变形形式ab≤2求最大值时，若不具备和为定值的条件，可以通过构造使其和为定值． 【真题2】 (1)已知0<x<1，则x(4－3x)的最大值为(　　) A．－1 B．0 C． D． (2)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________. (3)(2021·天津)若a>0，b>0，则＋＋b的最小值为____. 解析　(1)因为0<x<1，所以4－3x>0，则x(4－3x)＝×3x×(4－3x)≤×2＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，等号成立，故x(4－3x)的最大值为.故选C项． (2)由题意知y≠0.由5x2y2＋y4＝1，可得x2＝，所以x2＋y2＝＋y2＝＝≥×2＝，当且仅当＝4y2，即y＝±时，等号成立．所以x2＋y2的最小值是. (3)因为a>0，b>0，所以＋＋b≥2＋b＝＋b≥2＝2，当且仅当＝且＝b，即a＝b＝时，等号成立，所以＋＋b的最小值为2. 答案 (1)C　(2)　(3)2 探究三　解一元二次不等式 一元二次不等式的求解方法 (1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，共同确定出解集． (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当m<n时，若(x－m)·(x－n)>0，则可得x>n或x<m；若(x－m)·(x－n)<0，则可得m<x<n.口诀为“大于取两边，小于取中间”． 【真题3】 (1)(2022·1月浙江改编)不等式x2－4x<0的解集是(　　) A．{x|0<x<4} B．{x|－4<x<0} C．{x|x<4} D．{x|x<0或x>4} (2)(多选)下列不等式的解集为R的是(　　) A．9x2－6x＋1≥0 B．－x2＋2x－3<0 C．x2－3x－4>0 D．x2＋≥1 解析　(1)x2－4x<0⇒x(x－4)<0，解得0<x<4.故选A项． (2)不等式9x2－6x＋1≥0，可化为(3x－1)2≥0，不等式的解集为R，A项