1.5 全称量词与存在量词（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版 2019）

1．5　全称量词与存在量词 [学习目标] 1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义，强化数学抽象的核心素养.2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定，强化逻辑推理的核心素养(易混点).3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定，强化逻辑推理的核心素养(易混点)． 要点一　全称量词与全称量词命题 1．全称量词 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等． 2．全称量词命题 (1)定义：含有全称量词的命题，叫做全称量词命题． (2)符号表示：全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x). 要点二　存在量词与存在量词命题 1．存在量词 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中叫做存在量词，并用符号“∃”表示．常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等． 2．存在量词命题 (1)定义：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题． (2)符号表示：存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x). 要点三　全称量词命题和存在量词命题的否定 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)一个全称量词命题只能有一个变量．(　　) (2)不含有全称量词的命题一定是存在量词命题．(　　) (3)一个存在量词命题可以包含多个变量．(　　) (4)全称量词命题和存在量词命题的否定只需否定结论即可．(　　) 提示　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 探究一　全称量词命题与存在量词命题的辨析及真假判断 规律总结 (1)有些全称量词命题和存在量词命题没有定义中的量词，需要自己“翻译”，发现其中的量词，才可以判断其是全称量词命题还是存在量词命题，进而再判断其真假． (2)判断全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x，使p(x)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题． (3)判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素不存在，那么这个存在量词命题是假命题． 【例题1】 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假． (1)∀x∈N,2x＋1是奇数； (2)存在一个x∈R，使＝0； (3)存在一组m，n的值，使m－n＝1； (4)至少有一个集合A，满足A{1,2,3}； (5)对任意实数x，有3x＋2＞0. 解析　(1)命题中含有“∀”，所以是全称量词命题．因为对任意自然数x,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)命题中含有存在量词“存在一个”，所以是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题． (3)命题中含有存在量词“存在一组”，所以是存在量词命题．当m＝4，n＝3时，m－n＝1成立，所以该命题是真命题． (4)命题中含有存在量词“至少有一个”，所以是存在量词命题．存在A＝{3}，使A{1,2,3}成立，所以该命题是真命题． (5)命题中含有全称量词“任意”，所以是全称量词命题．当x＝－1时，3x＋2＝－1＜0，所以该命题是假命题． 【变式1】 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)∀x∈R，x2＋2>0； (2)∀x∈N，x4≥1； (3)∃x∈R，x3<1. 解析　 (1)命题中含有“∀”，所以是全称量词命题．由于∀x∈R，都有x2≥0，所以x2＋2≥2>0，即x2＋2>0.所以“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题． (2)命题中含有“∀”，所以是全称量词命题．由于0∈N，当x＝0时，x4＝0≥1不成立，所以“∀x∈N，x4≥1”是假命题． (3)命题中含有“∃”，所以是存在量词命题．由于0∈R，当x＝0时，x3＝0<1成立，所以“∃x∈R，x3<1”是真命题． 探究二　全称量词命题和存在量词命题的否定 规律总结 (1)一般地，写出全称量词命题和存在量词命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论． (2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定． (3)全称(存在)量词命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 【例题2】 写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)每一个素数都是奇数； (2)任意偶数的平方还是偶数； (3)有些实数的绝对值是正数； (4)某些平行四边形是菱形． 解析　(1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”，因此该命题的否定：