1.4 充分条件与必要条件（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版 2019）

1．4　充分条件与必要条件 [学习目标] 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系，提升数学抽象和逻辑推理的核心素养.2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系，提升数学抽象和逻辑推理的核心素养.3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系，提升数学抽象和逻辑推理的核心素养． 要点一　充分条件与必要条件的关系 1．充分条件与必要条件 (1)定义 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件，q是p的必要条件 p不是q的充分条件，q不是p的必要条件 (2)一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”(将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题)均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 3．命题按条件和结论的充分性、必要性的分类 (1)充分必要条件(充要条件)，即p⇒q且q⇒p. (2)充分不必要条件，即p⇒q且q p. (3)必要不充分条件，即pq且q⇒p. (4)既不充分也不必要条件，即pq且qp. 练习：(1)用符号“⇒”与 “”填空． ①|x|>1________x>1； ②a，b都是偶数________a＋b是偶数． (2)若p是q的充分条件，这样的条件p是唯一的吗？举例说明． 提示　(1)①　②⇒ (2)不唯一．例如“x>1”是“x>0”的充分条件，p可以是“x>2”“x>3”或“2<x<3”等． 要点二　从集合的角度判断充分条件、必要条 件和充要条件 设p对应的集合为A，q对应的集合为B. (1)若A⊆B，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的充分不必要条件． (2)若B⊆A，则p是q的必要条件；若BA，则p是q的必要不充分条件． (3)若A＝B，则p，q互为充要条件． (4)若A不包含于B且B不包含于A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)若p是q的充要条件，则条件p和q是两个相互等价的条件．(　　) (2)“p是q的充分条件”与“q是p的必要条件”表述的是不同的逻辑关系．(　　) (3)“若p，则q”与“p⇒q”是等价的．(　　) (4)若p是q的充要条件，q是s的充要条件，则p是s的充要条件．(　　) 提示　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 探究一　充分、必要、充要条件的判断 解题技巧 充分、必要、充要条件的判断方法 (1)定义法：①分清条件和结论，分清哪个是条件，哪个是结论；②找推式，判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假；③根据推式及条件下结论． (2)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断． (3)传递法：若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出推式图，根据图中推式的传递性进行判断． (4)特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题． 【例题1】 判断α是β的什么条件． (1)α：＜1，β：a＞1； (2)α：x≤0，β：x＜1； (3)α：A∩B＝A，β：A∪B＝B； (4)α：x＞y，β：x2＞y2. 解析　(1)取a＝－1满足＜1，但得不到a＞1，所以αβ；利用不等式的性质，对a＞1两边同除以a，不等号方向不改变，所以β⇒α.所以α是β的必要不充分条件． (2)因为x＜1，可取x＝，而＞0，不满足≤0，所以α⇒β，βα.所以α是β的充分不必要条件． (3)因为A∩B＝A⇒A⊆B⇒A∪B＝B，所以α⇒β；而A∪B＝B⇒A⊆B⇒A∩B＝A，所以β⇒α.所以α是β的充要条件． (4)若α为2＞－3，却没有4＞9，所以αβ；若β为(－3)2＞22，却没有－3＞2，所以βα.所以α是β的既不充分也不必要条件． 【变式1】 设a，b∈R，则“a＋b＞4”是“a＞2且b＞2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　若a＞2且b＞2，则a＋b＞4，但当a＝4，b＝1时也有a＋b＞4，故“a＋b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件．故选B项． 探究二　充要条件的证明