1.3.2 补集（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版 2019）

1．3.2　补　集 [学习目标] 1.在具体情境中，了解全集的含义，强化数学抽象的核心素养.2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集，培养数学运算的核心素养(重点).3.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用，强化直观想象的核心素养. 要点一　全集 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U. 要点二　补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 基本性质 ∁U(∁UA)＝A，A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅ 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)全集是固定不变的．(　　) (2)全集一定含有任何元素．(　　) (3)同一个集合，对于不同的全集，其补集也不同．(　　) (4)补集是相对于全集而言的，没有全集就没有补集．(　　) (5)补集既是集合间的一种关系，也是集合间的一种运算．(　　) (6)存在x0∈U，x0∉A，且x0∉∁UA．(　　) 提示　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√　(6)× 探究一　补集的运算 规律总结 求集合补集的策略 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn图来求解，这样处理起来，相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错． (2)如果所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解． 【例题1】 (1)(2022·北京改编)已知全集U＝{x|－3<x<3}，集合A＝{x|－2<x≤1}，则∁UA＝(　　) A．{x|－2<x≤1} B．{x|－3<x<－2或1≤x<3} C．{x|－2≤x<1} D．{x|－3<x≤－2或1<x<3} (2)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________. 解析　(1)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示，由补集的定义可得∁UA＝{x|－3<x≤－2或1<x<3}．故选D项． (2)A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁UB＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}． 答案 (1)D　(2){2,3,5,7} 【变式1】 (1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则∁UA＝(　　) A．{1,3,5,6} B．{2,3,7} C．{2,4,7} D．{2,5,7} (2)设全集U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m的值是________. 解析　 (1)由A＝{1,3,5,6}，U＝{1,2,3,4,5,6,7}，得∁UA＝{2,4,7}．故选C项． (2)因为A＝∁U(∁UA)＝{0,3}，所以32＋m·3＝0，解得m＝－3. 答案 (1)C　(2)－3 探究二　交、并、补集的混合运算 规律总结 (1)解决集合的混合运算问题时，一般先运算括号内的部分，然后按照从左到右的顺序进行运算．如求(∁UA)∩B时，先求出∁UA，再求交集；求∁U(A∪B)时，先求出A∪B，再求补集． (2)当集合是用列举法表示时(如数集)，可以通过列举集合中的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时(如不等式形式表示的集合)，则可运用数轴求解． 【例题2】 已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－2＜x＜2}，B＝{x|－3＜x≤3}，求∁UA，A∩B，∁U(A∩B)，(∁UA)∩B. 解析　如图，把全集U和集合A，B表示在数轴上，由图可知， ∁UA＝{x|x≤－2或2≤x≤5}， A∩B＝{x|－2＜x＜2}， ∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或2≤x≤5}， (∁UA)∩B＝{x|－3＜x≤－2或2≤x≤3}． 【变式2】 已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4,7,8}，试求A∩B，A∪B，(∁UA)∩(∁UB)，A∩(∁UB)，(∁UA)∪B. 解析　A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}． 因为∁UA＝{1,2,6,7,8}，∁UB＝{1,2,3,5,6}， 所以(∁UA)∩(∁UB)＝{1,2,6}，A∩(∁UB)＝{3,5}，(∁UA)∪B＝{1,2,4,6,7,8}． 探究三　利用集合运算求参数 规律总结 (1)数轴与Venn图有同样的直观效果，在数轴上可以直观地表示数集，所以