1.2 集合间的基本关系（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版 2019）

1．2　集合间的基本关系 [学习目标] 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，提升数学抽象和直观想象的核心素养(重点).2.在具体情境中，了解空集的含义，提升数学抽象的核心素养(易混点)．　 要点一　子集、真子集、集合相等的概念及表示法 概念 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B” (或“B包含A”) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 AB(或BA) 集合 相等 如果A⊆B，且B⊆A，那么就说集合A与集合B相等 A＝B 在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，如表中右列的图形． 要点二　空集 1．定义：一般地，把不含任何元素的集合叫做空集，用符号∅表示． 2．规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集. 思考：(1)符号“⊆”与符号“∈”有什么区别？ (2){0}，∅，{∅}之间有什么区别与联系？ 提示　(1)符号“⊆”表示集合与集合之间的包含关系，而符号“∈”表示元素与集合之间的从属关系． (2){0}是含有一个元素0的集合，∅是不含任何元素的集合，因此∅⊆{0}，而{∅}是含有一个元素∅的集合． 要点三　子集的有关性质 1．任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A． 2．对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，那么A⊆C． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)空集中不含任何元素，所以∅不是集合．(　　) (2)符号“⊆”和“”表示相同的含义．(　　) (3)集合{0}与∅是相等集合．(　　) (4)子集具有传递性．(　　) 提示　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 探究一　集合间关系的判断 解题技巧 判断集合间关系的常用方法 (1)列举观察法：当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系． (2)集合元素特性法：首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特性，再利用集合元素的特性判断关系．一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若由p(x)可推出q(x)，则A⊆B；若由q(x)可推出p(x)，则B⊆A；若p(x)，q(x)互相可以推出，则A＝B； 若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系． (3)数形结合法：利用数轴或Venn图表示出集合，再观察图形判断关系． 【例题1】 指出下列各对集合之间的关系． (1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (3)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 解析　(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. (3)集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB. (4)由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故NM. 【变式1】 (多选)集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是(　　) A．SP B．S＝P C．P＝M D．MS 答案　AC 解析　集合M，P表示被3除余1的整数集，集合S表示被6除余1的整数集，且6是3的倍数，所以A项和C项正确．故选AC项． 探究二　集合的子集和真子集 规律总结 (1)假设集合A中含有n个元素，则①A的子集的个数为2n；②A的非空子集的个数为2n－1；③A的真子集的个数为2n－1；④A的非空真子集的个数为2n－2. (2)求给定集合的子集的两个注意点：①按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；②在写子集时注意不要忘记空集和集合本身． 【例题2】 写出满足{a，b}A⊆{a，b，c，d}的所有集合A． 解析　由题设可知，一方面A是集合{a，b，c，d}的子集，另一方面A又真包含集合{a，b}，故集合A中一定含有两个元素a，b，且含有c，d两个元素中的一个或两个．故满足条件的集合有{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，c，d}． 【变式2】 已知集合N＝{1,3,5}，则集合N的真子集个数为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案　C 解析　因为集合N中有3个元素，所以真子集的个数为23－1＝7.故选C项． 探究三　已知集合间的关系求参数 高考拓展 (1)根据集合间的关系求参数