1.1 集合的概念（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版 2019）

第一章　集合与常用逻辑用语 1．1　集合的概念 [学习目标] 1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，培养数学抽象的核心素养(重点).2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，培养数学运算的核心素养． 要点一　元素与集合的概念 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示． 2．集合：一般地，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示． 3．集合中元素的特性 确定性、互异性、无序性. 4．集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 思考：(1)你能举例说出：初中阶段，我们在代数方面学习过的集合吗？ (2)构成集合的元素有什么要求？ 提示　(1)自然数集合，有理数集合，实数集合，方程解的集合，不等式解的集合． (2)构成集合的元素除了常见的数、点、式子等数学对象，也可以是其他任何形式的对象，只要是有确定标准的对象即可，另外，一个集合也可以是另一个集合的元素． 要点二　元素与集合的关系 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与集合的关系 属于 如果a是集合A中的元素， 就说a属于集合A a∈A a属于 集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a∉A a不属于 集合A 要点三　常用的数集及其记法 概念 名称 记法 全体非负整数组成的集合 非负整数集 (或自然数集) N 全体正整数组成的集合 正整数集 N*或N＋ 全体整数组成的集合 整数集 Z 全体有理数组成的集合 有理数集 Q 全体实数组成的集合 实数集 R 思考：(1)如何准确理解符号“∈”和“∉”？ (2)非负整数集与正整数集有何区别？ 提示　(1)符号“∈”和“∉”是表示集合的元素与集合之间的关系，只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换． (2)非负整数集包括零，而正整数集不包括零． 要点四　集合的表示方法 1．自然语言法：用文字叙述的形式表示集合的方法． 2．列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法，表示形式为A＝{a1，a2，a3，…，an}． 3．描述法：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法；有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)组成集合的元素一定是实数．(　　) (2)一个集合中可以找到两个相同的元素．(　　) (3)集合相等与集合的形式无关．(　　) (4)符号“∈”和“∉”只用来表示元素和集合之间的关系．(　　) (5)0∈N.(　　) (6)大于1的整数所构成的集合可以用列举法表示，属于有限集．(　　) 提示　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√　(6)× 探究一　集合的判定 解题技巧 (1)判断一组对象能否构成集合的依据是元素的确定性．如果判断的对象是确定的，就能构成集合，否则不能构成集合． (2)解答此类问题的切入点是集合元素的特性，即确定性、互异性和无序性． 【例题1】 下列所给的对象能构成集合的是___________________________． ①高一数学必修第一册课本上的所有难题； ②比较接近1的全体正数； ③某校高一年级16岁以下的学生； ④平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点； ⑤参加跳绳比赛的年轻选手； ⑥a，b，a，c. 解析　①不能构成集合，因为“难题”的标准是模糊的，所以元素是不确定的，故不能构成集合；②不能构成集合，因为“比较接近1”的标准不明确，所以元素是不确定的，故不能构成集合；③能构成集合，其中的元素是“16岁以下的学生”；④能构成集合，其中的元素是“到坐标原点的距离等于1的点”；⑤不能构成集合，因为“年轻”的标准是模糊的，所以元素是不确定的，故不能构成集合；⑥不能构成集合，因为有两个a是重复的，不符合元素的互异性． 答案 ③④ 【变式1】 (多选)下列所给的对象，能构成一个集合的是(　　) A．某校高一年级成绩优秀的学生 B．平面直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C．不小于3的自然数 D．2023年某校春季运动会跳远项目前三名的获得者． 答案　BCD 解析　A项中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能构成一个集合；B，C，D项中的对象都满足集合元素的特性，所以能构成集合．故选BCD项． 探究二　元素与集合的关系 误区防错 (1)判断元素和集合关系的两种方法 ①直接法：首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元