3.3.2抛物线的简单几何性质（第二课时）学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.2 第2课时 抛物线的简单几何性质 学习目标 1.掌握抛物线的几何性质．(重点) 2.能综合利用抛物线的几何性质解决相关的综合问题． 知识梳理 抛物线四种形式的标准方程及其性质 标准方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) 图形 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e=1 合作探究 学习目标一 求抛物线的对称轴 例1.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴． 思考：你还有其它的证明方法吗？ 典例解析 学习目标二 和抛物线有关的轨迹方程 例2. 如图，已知定点B 轴于点, 是线段上任意一点, 轴于点, 于点, 相交于点P，求P点的轨迹方程。 ★例3. 已知动圆经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切,设动圆圆心E的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程. (2)设过点P(1,2)的直线l1 ,l2分别与曲线C交于A,B两点,直线l1 ,l2的斜率存在,且倾斜角互补.证明:直线AB的斜率为定值. 巩固练习 1．若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　　) A． B． C． D． 2.动点P(x，y)到点F(3,0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是（ ） A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线 3.已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ） A.y2＝12x B.y2＝－12x C.x2＝12y D.x2＝12y 4.设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为16，则∠AOB等于（ ） A.30° B.45° C.60° D.90° 5.若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________. 6.已知定点F(1,0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且·＝0，延长MP到点N，使得||＝||，则点N的轨迹方程是________. 7．设直线y＝2x＋b与抛物线y2＝4x交于A，B两点，已知弦AB的长为3，求b的值． ★8.如图,已知直线l:y=2x-4交抛物线y2=4x于A,B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最大,并求出这个最大面积. 3.3.2 第2课时 抛物线的简单几何性质 参考答案 例题3解：(1)由题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则由点P(1,2)在抛物线上，得22＝2p×1，解得p＝2，故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1. (2)证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA＝－kPB，即＝－. 又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，所以x1＝，x2＝，从而有＝－，即＝－，得y1＋y2＝－4，故直线AB的斜率kAB＝＝＝－1. 自我评价 1.A 2.D 3.A 4.D 5.(4,2) 6. 7.【答案】由消去y，得4x2＋4(b－1)x＋b2＝0.由Δ＞0，得b＜.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝1－b，x1x2＝.∴|x1－x2|＝＝. ∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝3，∴1－2b＝9，即b＝－4. 8.解:由解得∴A(4,4),B(1,-2),∴|AB|=3. (方法1)设P(x0,y0)为抛物线AOB这段曲线上一点,d为点P到直线AB的距离,则有d=|(y0-1)2-9|.∵-2<y0<4,∴(y0-1)2-9<0.∴d=[9-(y0-1)2]. 从而当y0=1时,dmax=,Smax=×3. 因此,当点P的坐标为时,△PAB的面积取得最大值,最大面积为. (方法2)由解得∴A(4,4),B(1,-2),∴|AB|=3. 设点P的坐标为(4t2,4t),∵点P(4t2,4t)在抛物线AOB这段曲线上,∴-2<4t<4,得-<t<1. 由题意得点P(4t2,4t)到直线AB的距离d=.∵当t∈时,2<0,∴d=,∴当t=时,dmax=. (方法3)设y=2x+m是抛物线y2=4x的切线方程.由消去x,并整理,得y2-2y+2m=0. ∵Δ=4-8m=0,∴m=.此时,方程为y2