第十一章 三角形（压轴题专练）-2023-2024学年八年级数学上册单元速记·巧练（人教版）

第十一章 三角形（五大压轴题专练） 【题型一 三角形中高线的综合问题】 1.已知：点，，，，过点Ｃ是作y轴的垂线m，垂足为C．    (1)如图1，连接、，求的面积； (2)如图2，延长BA交直线m交于点D，在CD上存在点P，使，请补全图形，并求点P的坐标； (3)请在备用图中画图探究：若点P是直线m上的一个动点，连接交x轴于点M，连接,当时，直接写出点Ｍ的坐标． 2．“等面积法”是解决三角形内部线段长度的常用方法．如图1，在中，，作，若，，，可列式：，解得．    (1)在题干的基础上， ①如图2，点为上一点，作，，设，，求证：； ②如图3，当点在延长线上时，猜想、之间又有什么样的数量关系，请证明你的猜想； (2)如图4，在中，，，，若点是延长线上一点，且，过点作，点是直线上一动点，点是直线上一动点，连接、，求的最小值． 3．在平面直角坐标系中，有点，，且a，b满足，将线段向上平移k个单位得到线段．    (1)直接写出______，______； (2)如图1，点E为线段上任意一点，点F为线段上任意一点，．点G为线段与线段之间一点，连接，．且，，求的度数； (3)如图2，若，过点C作直线轴，点M为直线l上一点，延长交l于K； ①用面积法求K点坐标； ②若的面积为10，求点M的坐标． 【题型二 三角形中中线的综合问题】 1.【问题情境】 苏科版数学课本七年级下册上有这样一道题：如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．又因为高相同，所以，于是．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．    【深入探究】 （1）如图2，点在的边上，点在上． ①若是的中线，求证：； ②若，则______． 【拓展延伸】 （2）如图3，分别延长四边形的各边，使得点、、、分别为、、、的中点，依次连结、、、得四边形． ①求证：； ②若，则______． 2．基本性质：三角形中线等分三角形的面积． 如图1，是边上的中线，则． 理由：因为是边上的中线，所以． 又因为，，所以． 所以三角形中线等分三角形的面积． 基本应用： 在如图2至图4中，的面积为a． (1)如图2，延长的边到点D，使，连接．若的面积为，则 （用含a的代数式表示）； (2)如图3，延长的边到点D，延长边到点E，使，，连接．若的面积为，则 （用含a的代数式表示）； (3)在图3的基础上延长到点F，使，连接，，得到（如图4）．若阴影部分的面积为，则 （用含a的代数式表示）； 拓展应用： (4)如图5，点D是的边上任意一点，点E，F分别是线段，的中点，且的面积为，则的面积为 （用含a的代数式表示），并写出理由． 3．阅读与理解： 三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，即如图1，是中边上的中线，则． 理由：，， 即：等底同高的三角形面积相等． 操作与探索 在如图2至图4中，的面积为． (1)如图2，延长的边到点，使，连接．若的面积为，则___________（用含的代数式表示）； (2)如图3，延长的边到点，延长边到点，使，，连接．若的面积为，则___________（用含的代数式表示），并写出理由； (3)在图3的基础上延长到点，使，连接，，得到（如图．若阴影部分的面积为，则___________；（用含的代数式表示） 拓展与应用： (4)如图5，已知四边形的面积是，、、、分别是、、、的中点，连接交于点O，求图中阴影部分的面积？ 【题型三 三角形中角平分线的综合问题】 1.已知，，点C是直线，下方一点，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，分别平分和，所在的直线相交于点H，若，求的度数；（用含的式子表示） (3)如图3，若，分和两部分，且，，直线，相交于点H，则____________．（用含n和的式子表示） 2．在平面直角坐标系xoy中，已知A（a，0），B（－a，b）两点，并且a，b满足． (1)请直接写出a，b的值； (2)如图1，BC⊥x轴于点C，AB交y轴于点D，点F（m，n）在线段AB上，求点D的坐标，并求m与n满足的关系式； (3)如图2，若CF，BE分别是△ABC的高与角平分线，BE交CF于点G，CH平分∠ECG，交BE于点H，求证：CH⊥BE． 【题型四 三角形内角和与外角和的综合问题】 1.在中，点是延长线上一点．      (1)如图1，过点作，交于点，． ①若，则______°； ②试写出与的数量关系，并说明理由； ③当时，求的度数； ④若，请说明； (2)如图2，交于点，，直接写出、与之间的数量关系． 2．（1）如图①所示，中，点是和的平分线的交点， 若，则_____________（用表示）；不用说明理由，直接填空． 如图②所示，，， 若，则____________（用表示