3.3.2抛物线的简单几何性质第一课时学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质 【学习目标】 1.掌握抛物线的几何性质．(重点) 2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点) 3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点) 【自主学习】阅读教材P134-P135. 学习目标一 抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 图形 性质 焦点 （ ,0） （- ,0） （0, ） （0,- ） 准线 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 顶点 离心率 e＝ 例1 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点为原点，并且经过点M（2，），求它的标准方程。 追问：若将“x轴”改为“坐标轴”呢？ 学习目标二 直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系： 、 和 ． 设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0. 交点个数即二次方程解的个数． ①k＝0时，直线与抛物线的轴 ，此时直线与抛物线有 个公共点； ②k≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线 ⇔有 公共点． Δ＝0⇔直线与抛物线 ⇔只有 公共点． Δ＜0⇔直线与抛物线 ⇔ 公共点． 学习目标三 弦长问题 1.抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p． 2.抛物线的焦点弦：过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)y1y2＝ ，x1x2＝ ；(2)|AB|＝ ；(3)＋＝ ． 例2 斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长. 巩固练习 1.判断.(正确的画“ √ ”,错误的画“×”) (1)抛物线关于其顶点对称。 ( ) (2)抛物线只有一个焦点， 一条对称轴，无对称中心.( ) (3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同。( ) (4)抛物线x²=9y,y²=9x的x,y的范围是不同的，但是其焦点到准线的距离是相同的，且离心率也相同. ( ) 2.过点P(0,1),且与抛物线y²=x有且只有一个交点的直线有( ) A . 4条 B .3条 C .2条 D . 1条 3.已知点A,B是抛物线x²=4y上两点，O为原点 .若|OAl= |OB|,且△AOB的面积为16,则 ∠AOB等于( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 4.已知抛物线C:y²=4x的焦点为F,准线为l,点P是l上一 点，点Q是直线PF与C的一个交点.若 ,则| Q F | = ( ) A.8 B.4 C.6 D.3 5.已知过抛物线y²=4x的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点.如果x1+x2=6,那么 | AB | = 巩固练习参考答案 1. (1)× (2) √ (3) √ (4) √ 2.B 3.D 4.D 5.8 第1页（共4页） $$