4.5相似三角形判定定理的证明作业 2023-2024学年北师大版九年级数学上册

*5　相似三角形判定定理的证明 测试时间:20分钟 一、选择题 1.(2021上海青浦一模)如图,在△ABC中,点D在边AB上,DE∥BC,DF∥AC,连接BE,BE与DF相交于点G,则下列结论一定正确的是 (　　) A. 2.(2023上海四中期末)如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,则下列结论错误的是(　　) A.CD·AB=AC·BC B.AC2=AD·AB C.BC2=BD·AB D.AC·CD=AB·BC 3.(2023河北邢台期末)如图,在四边形ABCD中,∠ADC=∠BAC,则添加下列条件后,不能判定△ADC和△BAC相似的是 (　　) A.CA平分∠BCD B.∠DAC=∠ABC C. 4.如图,已知△ABC和△ADE均为等边三角形,点D在BC边上,DE与AC相交于点F,则图中相似三角形有 (　　) A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 5.(2023山东武城期末)如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,F是CD上一点,AE⊥EF,则下列结论正确的有 (　　) ①∠BAE=30°;②CE2=AB·CF;③CF=CD;④△ABE∽△AEF. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 6.如图,E为▱ABCD的边AB的延长线上一点,且BE∶AB=2∶3,连接DE交BC于点F,则CF∶AD=　　　　.  7.如图,请你添加一个条件,使△ABC∽△DEF,这个条件可以是　　　　.(只填一个即可)  三、解答题 8.(2022山西运城盐湖期中)如图,正方形ABCD中,M为BC上异于B,C的一点,F是AM的中点,过点F作EF⊥AM,交AD的延长线于点E,交DC于点N. (1)求证:△ABM∽△EFA; (2)若AB=6,BM=2,求DE的长. 9.(2023安徽六安汇文学校期末)如图,在△ABC中,BD、CE分别是AC、AB边上的高,求证:△ACB∽△AED. 答案全解全析 一、选择题 1.答案　C　∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴,故A,B选项错误,不符合题意; ∵DF∥AC,∴,∵DE∥BC,DF∥AC,∴四边形DFCE为平行四边形, ∴CF=DE,∴,故C选项正确,符合题意; ∵DE∥BF,∴△DGE∽△FGB,∴,故D选项错误,不符合题意. 故选C. 2.答案　D　由三角形的面积公式可知,CD·AB=AC·BC,故选项A结论正确,不符合题意,选项D结论不正确,符合题意.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,易得△ABC∽△ACD,△BCD∽△BAC,∴,,∴AC2=AD·AB,BC2=BD·AB,故选项B、C结论正确,不符合题意.故选D. 3.答案　C　在△ADC和△BAC中,∠ADC=∠BAC,如果∠DAC=∠ABC或CA是∠BCD的平分线,可以利用两角分别相等的两个三角形相似判定△ADC与△BAC相似.如果,那么,可以利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定△ADC与△BAC相似.添加后,根据已知条件无法判定两三角形相似.故选C. 4.答案　C　∵△ABC和△ADE均为等边三角形, ∴∠BAC=∠B=∠C=∠DAE=∠ADE=∠E=60°,∴△ABC∽△ADE. ∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAD=∠FAE,∴△ABD∽△AEF. ∵∠AFE=∠DFC,∠E=∠C,∴△AEF∽△DCF,∴△ABD∽△DCF. ∵∠DAF=∠CAD,∠ADF=∠C,∴△ADF∽△ACD. 故题图中相似三角形有5对,故选C. 5.答案　C　∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠C=90°,AB=BC=CD, ∵AE⊥EF,∴∠AEF=∠B=90°, ∴∠BAE+∠AEB=90°,∠AEB+∠FEC=90°, ∴∠BAE=∠CEF,∴△BAE∽△CEF,∴, ∵E是BC的中点,∴BE=CE,∴CE2=AB·CF,故②正确. 易知CD=AB=2BE,∴CF=CD,故③正确. ∵,∴∠BAE≠30°,故①错误. 设CF=a,则BE=CE=2a,AB=CD=4a, ∴=2,AE=2a,EF=a, ∴=2,∴, ∴△ABE∽△AEF,故④正确. 故选C. 二、填空题 6.答案　3∶5 解析　∵四边形ABCD是平行四边形, ∴CD∥AE,CD=AB,AD=BC, ∴△CDF∽△BEF,∴, ∵,∴,∴, ∵AD=BC,∴,即CF∶AD=3∶5. 7.答案　DF=6(或∠C=60°或∠B=35°) 解析　根据两角分别相等的两个三角形相似,可以添加∠C=60°或∠B=35°; 根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似,可以添加DF=6. 三、解答题 8.解析　(1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=AD,∠B=90°,AD∥BC, ∴∠AMB=∠EAF, ∵EF⊥AM,