7.6 用锐角三角函数解决问题 同步练习 2022-2023学年苏科版九年级数学下册

第7章 锐角三角函数 7.6 用锐角三角函数解决问题 基础过关全练 知识点1 坡度、坡角问题 1.(2022广西柳州中考)如图,某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α,sin α=,堤坝高BC=30 m,则AB的长度为 m. 知识点2 仰角、俯角问题 2.(2022湖北黄石中考)某校数学兴趣小组开展“无人机测旗杆”的活动:已知无人机的飞行高度为30 m,当无人机飞行至A处时,观测旗杆顶部的俯角为30°,继续飞行20 m到达B处,观测旗杆顶部的俯角为60°,则旗杆的高度约为 m.(参考数据:≈1.732,结果按四舍五入保留一位小数) 知识点3 方向角问题 3.(2022四川巴中中考)一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向,距离灯塔30海里的A处,它沿北偏东30°方向航行一段时间后,到达位于灯塔P北偏东67°方向的B处,此时与灯塔P的距离约为 海里.参考数据:sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈ 能力提升全练 4.(2022黑龙江牡丹江、鸡西中考,10,★★☆)小明去爬山,如图,在山脚看山顶的角度为30°,小明在坡比为5∶12的山坡上走1 300米,此时小明看山顶的角度为60°,则山高为 米.( ) A.(600-250) B.(600-250) C.(350+350) D.500 5.【国防科技】(2022宁夏中考,16,★★☆)2022年4月16日9时56分,神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆,某一时刻观测点D测得返回舱底部C的仰角∠CDE=45°,降落伞底面圆A点处的仰角∠ADE=46°12'.已知半径OA为14米,拉绳AB长50米,返回舱高度BC为2米,这时返回舱底部离地面的高度CE约为 米(精确到1米).(参考数据:sin 46°12'≈0.72,cos 46°12'≈0.69,tan 46°12'≈1.04) 6.(2022贵州黔西南州中考,19,★★☆)如图,我国海军舰艇在某海域C岛附近巡航,计划从A岛向北偏东80°方向的B岛直线行驶.测得C岛在A岛的北偏东50°方向上,在B岛的北偏西40°方向上,A,B之间的距离为80 n mile,则C岛到航线AB的最短距离约是 n mile.(参考数据:≈1.4,≈1.7,保留整数结果) 7.(2022江苏盐城中考,25,★★☆)2022年6月5日,“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射.如图所示的是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图,OA是垂直于工作台的移动基座,AB、BC为机械臂,OA=1 m,AB=5 m,BC=2 m,∠ABC=143°,机械臂端点C到工作台的距离CD=6 m. (1)求A、C两点之间的距离; (2)求OD的长. (结果精确到0.1 m,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,≈2.24) 素养探究全练 8.【推理能力】(2022山东济宁中考)知识再现 如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c. ∵sin A=,sin B=, ∴c=,c=. 拓展探究 如图2,在锐角△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.请探究,,之间的关系,并写出探究过程. 解决问题 如图3,为测量点A到河对岸点B的距离,选取与点A在河岸同一侧的点C,测得AC=60 m,∠A=75°,∠C=60°.请用拓展探究中的结论,求点A到点B的距离. 图1 图2 图3 答案全解全析 基础过关全练 1.答案 50 解析 ∵sin α=,堤坝高BC=30 m,∴sin α=,∴AB=50 m.故答案为50. 2.答案 12.7 解析 如图,设旗杆底部为点C,顶部为点D,过点D作DE⊥AB,交直线AB于点E. 由题可知CE=30 m,AB=20 m,∠EAD=30°,∠EBD=60°,设DE=x m, 在Rt△BDE中,tan 60°=,∴BE=x m, 则AE=AB+BE=m, 在Rt△ADE中,tan 30°=,解得x=10,经检验,x=10是原方程的解,且符合题意,∴CD=CE-DE≈12.7 m.故答案为12.7. 3.答案 50 解析 如图所示, 根据题意得,∠CAP=∠EPA=60°,∠CAB=30°,PA=30海里,∴∠PAB=90°,∠APB=180°-67°-60°=53°,∴∠B=180°-90°-53°=37°,在Rt△PAB中,sin 37°=≈,∴BP≈50海里,故此时与灯塔P的距离约为50海里.故答案为50. 能力提升全练 4.B 如图,设EF=5x米,∵斜坡BE的坡度为5∶12,∴BF=12x米,由勾股定理得(5x)2+(12x)2=1 3002,解得x=100,则EF=500米,BF=1 200米,由题意可知,四边形DCFE为矩形,