专题05 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训-2023-2024学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题05 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训 【题型目录】 题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值 题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值 题型三 利用根与系数的关系降次求代数式的值 题型四 构造一元二次方程求代数式的值 题型五 由两根关系求方程字母系数 题型六 根与系数关系的新定义问题 题型七 一元二次方程根与系数的关系综合 【知识梳理】 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【经典例题一 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 【例1】（2023春·全国·八年级专题练习）已知，是一元二次方程的两根，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【变式训练】 1．（2023·湖北武汉·统考二模）已知，是一元二次方程的两根，则的值是（    ） A．3 B． C．2 D． 2．（2023·江西吉安·统考一模）已知方程的两个解分别为，则的值为_______． 3．（2022春·八年级单元测试）已知，是方程的两实数根，求： (1)， (2)的值． 【经典例题二 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 【例2】（2023·山东泰安·统考一模）已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【变式训练】 1．（2023·内蒙古包头·二模）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2023·湖北咸宁·统考二模）已知方程的两根分别为，则的值为_____． 3．（2023·湖北襄阳·统考一模）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，且满足．求的值． 【经典例题三 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 【例3】（2023·上海普陀·统考二模）已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2022秋·四川达州·九年级校联考期末）设，是一元二次方程的两根，则等于（    ） A．1 B．5 C．11 D．13 2．（2023春·山东威海·九年级校联考期中）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是____ 3．（2022秋·福建泉州·九年级晋江市第一中学校考期中）已知a，b是方程的两个不相等的实根，求下列各式的值： (1)； (2)； (3) 【经典例题四 构造一元二次方程求代数式的值】 【例4】（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）如果x、y是两个实数（）且，，则的值等于（    ） A． B． C． D．2023 【变式训练】 1．（2023·湖北武汉·统考一模）如果m，n是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．16 B．15 C．12 D．9 2．（2023·浙江嘉兴·统考一模）已知，，且，则 ． 3．（2023春·河南周口·八年级统考期末）阅读材料： 材料1：若关于的一元二次方