2.4.2 圆内接四边形（同步课件）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

2.4.2 圆周角 ——圆的内接四边形 第2章对称图形——圆 苏科版 九年级上册 教学目标 01 理解圆的内接四边形、四边形的外接圆的概念 02 掌握并熟练运用圆内接四边形的性质 03 掌握圆内接四边形的判定，初步认识辅助圆模型 圆的内接四边形的概念 01 二、定义 复习引入 回顾1：确定圆的条件？ 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 C A B O 01 二、定义 复习引入 回顾2：三角形的外接圆？圆的内接三角形？ 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆， 这个三角形叫做圆的内接三角形。 C A B O 01 二、定义 情境引入 探究1：过四边形的4个顶点能画一个圆吗？ 过四边形的4个顶点不一定能画一个圆。 C A B O D1 D3 如图，四边形ABCD1、四边形ABCD2的4个顶点不能画一个圆， 但是，四边形ABCD3的4个顶点可以。 D2 01 二、定义 情境引入 探究2：如图，四边形的ABCD3的四个顶点都在O上，请类比三角形，描述四边形ABCD3与O的关系？ C A B O D3 三角形的3个顶点确定一个圆 四边形的4个顶点都在同一个圆上 这个圆叫做三角形的外接圆 这个三角形叫做圆的内接三角形 三角形的3个顶点确定一个圆 四边形的4个顶点都在同一个圆上 这个圆叫做三角形的外接圆 这个圆叫做四边形的外接圆 这个三角形叫做圆的内接三角形 这个四边形叫做圆的内接四边形 02 二、定义 知识精讲 圆的内接四边形的概念 一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 eg：如图，四边形ABCD是O的内接四边形， O是四边形ABCD的外接圆。 C D A B O 圆内接四边形的性质 02 二、定义 知识精讲 确定圆的条件 【思考1-1】如下图，在⨀O的内接四边形ABCD中，BD是⨀O的直径，问：∠A与∠C、∠ABC与∠ADC有怎样的数量关系? 作图 C D A B O ∵BD是⨀O的直径， ∴∠A=90°，∠C=90°， ∴∠A+∠C=180°。 又∵四边形内角和是360°， ∴∠ABC+∠ADC=180°。 【总结】在此情况下，圆内接四边形的对角互补。 02 二、定义 知识精讲 确定圆的条件 【思考1-2】如下图，圆心O不在⨀O的内接四边形ABCD的对角线上，上述结论是否仍然成立? 作图 C D A B O E 作直径DE，连接AE、CE， ∵BD是⨀O的直径， ∴∠DAE+DCE=90°+90°=180°， 又∵四边形内角和是360°， ∴∠ABC+∠ADC=180°。 又∵=， ∴∠BCE=∠BAE， ∴∠DAB+∠DCB=∠DAB+∠BCE+∠DCE =∠DAB+∠BAE+∠DCE=∠DAE+DCE=180°。 【总结】圆内接四边形的对角互补。 02 二、定义 知识精讲 确定圆的条件 【思考1-3】还有其他证明“圆内接四边形的对角互补”的方法吗？【提示：从新学的圆周角的知识点入手】 作图 C D A B 同理：∠B+∠D=180°。 ∵∠A的度数是的度数的一半， ∠C的度数是的度数的一半， 和的度数的和是360°， ∴∠A+∠C=×360°=180°。 02 二、定义 知识精讲 性质 性质1：圆内接四边形的对角互补。 eg：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。 C D A B 02 二、定义 知识精讲 确定圆的条件 【思考2-1】如下图，四边形ABCD是⨀O的内接四边形，问 ：∠C与∠BOD有怎样的数量关系? 作图 ∵四边形ABCD是⨀O的内接四边形， ∴∠A+∠C=180°， 又∵∠A=∠BOD， ∴∠BOD+∠C=180°。 C D A B O 【总结】∠BOD+∠C=180°是利用性质1推导出的常见结论。 02 二、定义 知识精讲 确定圆的条件 【思考2-2】如下图，B、C、D是⨀O上的三个点，已知∠C=105°，求∠BOD的度数? 作图 设点A是优弧BD上一点（不与B、D重合），连接AB、AD， 根据题意可得：∠A+∠C=180°， ∵∠C=105°，∴∠A=75°， ∴∠BOD=2∠A=150°。 C D B O A 【总结】需要利用辅助线构造圆的内接四边形。 02 二、定义 知识精讲 确定圆的条件 【思考3】如下图，四边形ABCD是⨀O的内接四边形，∠BAE是∠BAD的外角，问 ：∠C与∠BAE有怎样的数量关系? 作图 ∵四边形ABCD是⨀O的内接四边形， ∴∠BAD+∠C=180°， 又∵∠BAD+∠BAE=180°， ∴∠C=∠BAE。 【总结】圆内接四边形的任意一个外角等于它相邻的内角的对角。 C D A B O E 02 二、定义 知识精讲 性质2：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。 【注释：它的内对角