专题3.3 幂函数【八大题型】-2023-2024学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第一册）

专题3.3 幂函数【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 对幂函数的概念的理解】 1 【题型2 求幂函数的函数值、解析式】 2 【题型3 求幂函数的定义域】 4 【题型4 求幂函数的值域】 4 【题型5 幂函数的图象】 5 【题型6 由幂函数的图象与性质求参数】 6 【题型7 比较幂值的大小】 7 【题型8 利用幂函数的性质解不等式】 7 【知识点1 幂函数的概念】 1．幂函数的概念 (1)幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的特征： ①xα的系数为1； ②xα的底数是自变量； ③xα的指数为常数. 只有同时满足这三个条件，才是幂函数. 【题型1 对幂函数的概念的理解】 【例1】（2023·全国·高三专题练习）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）在函数，中，幂函数的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-2】（2023春·陕西西安·高一校考期末）已知函数为幂函数，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C． D．1 【变式1-3】（2023·高一课时练习）在函数①，②，③，④，，⑥中，是幂函数的是（   ） A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥ 【题型2 求幂函数的函数值、解析式】 【例2】（2023春·内蒙古呼和浩特·高一校考开学考试）已知幂函数的图象过点，则（    ）． A． B．4 C． D．8 【变式2-1】（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数的图象过点，则该函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·高一课时练习）已知幂函数的图象过点，则的值是（    ） A．-3 B． C． D．3 【变式2-3】（2023春·湖北宜昌·高一校联考期中）已知点在幂函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【知识点2 幂函数的图象与性质】 1．常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上为增函数 ，增函数 ，减函数 在R上为增函数 在上为增函数 ，增函数 ，减函数 定点 （1,1） 温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数． 2．一般幂函数的图象与性质 (1)一般幂函数的图象： ①当α=1时，y=x的图象是一条直线. ②当α=0时，y==1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线. ③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表： （p、q互质） p，q都是奇数 p是偶数，q是奇数 p是奇数，q是偶数 (2)一般幂函数的性质： 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： ①所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点(1,1). ②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+)上是增函数. ③α<0时，幂函数在区间(0,+)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方 无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. ④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. ⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个 幂函数的公共点. 3．对勾函数的图象与性质 参考幂函数的性质，探究函数的性质. (1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近. (2)函数的定义域为； (3)函数的值域为(-,-2]∪[2,+). (4)奇偶性：，函数为奇函数. (5)单调性：由函数的图象可知，函数在(-,-1)，(1,+)上单调递增，在 (-1,0)，(0,1)上单调递减. 【题型3 求幂函数的定义域】 【例3】（2023·全国·高三专题练习）下列函数定义域为的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023·全国·高一假期作业）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023·高一课时练习）5个幂函数：①；②；③；④；⑤.其中定义域为的是（    ） A．只有①② B．只有②③ C．只有②④ D．只有④⑤ 【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）设，则使函数的定义域为，且该函数为奇函数的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．、或 【题型4 求幂函数的值域】 【例4】（2