专题3.2 函数的基本性质【十大题型】-2023-2024学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第一册）

专题3.2 函数的基本性质【十大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 3 【题型2 利用函数的单调性求参数】 3 【题型3 利用函数的单调性比较大小】 4 【题型4 利用函数的单调性解不等式】 4 【题型5 求函数的最值】 6 【题型6 由函数的最值求参数】 7 【题型7 函数奇偶性的判断】 8 【题型8 函数奇偶性的应用】 8 【题型9 函数图象的识别、判断】 9 【题型10 函数性质的综合应用】 10 【知识点1 函数的单调性】 1．函数的单调性 (1)单调递增、单调递减： 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的 . 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的 . (2)函数的单调性及单调区间： ①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时,我们就称它是增(减)函数. ②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单 调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. (3)常见函数的单调性： 函数 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(,0)和(0,)； a<0时，单调递增区间是(,0)和(0,). 二次函数y=a(x-m)²+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(,m]，单调递增区间是[m,)； a<0时，单调递减区间是[m,)，单调递增区间是(,m]. (4)单调函数的运算性质： 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. ②若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的 单调性. ③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时， f(x)与具有相同的单调性. ④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. ⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 ⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x) g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x) g(x)在区间D上单调递减(增). (5)复合函数的单调性判定： 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 【例1】（2023秋·广东·高三统考学业考试）下列函数在上不是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·全国·高一假期作业）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，对任意，且，都有，则下列说法正确的是（    ） A．是增函数 B．是减函数 C．是增函数 D．是减函数 【变式1-3】（2023·全国·高一假期作业）下列命题正确的是（    ） A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数 C．函数和函数的单调性相同 D．函数和函数的单调性相同 【题型2 利用函数的单调性求参数】 【例2】（2023秋·湖南常德·高一校考期末）若函数在上单调递增,则a的取值范围是(     ) A． B． C． D． 【变式2-1】（2023秋·甘肃天水·高一统考期末）已知，则“”是“函数在内单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】（2023春·山西运城·高二统考期末）已知函数，若对于任意，，都有，则的取值范围是（