专题22.7 难点探究专题：新定义型二次函数的综合探究问题-【学霸满分】2023-2024学年九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题22.7 难点探究专题：新定义型二次函数的综合探究问题 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【考点一 新定义型二次函数——关联抛物线】 1 【考点二 新定义型二次函数——友好同轴二次函数】 7 【考点三 新定义型二次函数——衍生抛物线】 11 【考点四 新定义型二次函数——同轴对称抛物线】 20 【考点五 新定义型二次函数——孔像抛物线】 22 【考点六 新定义型二次函数——伴随抛物线】 26 【考点七 新定义型二次函数——美丽抛物线】 29 【考点八 新定义型二次函数——系列平移抛物线】 32 【典型例题】 【考点一 新定义型二次函数——关联抛物线】 例题：如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，抛物线C2的顶点也在抛物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C1：y1＝x2+x与C2：y2＝ax2+x+c是“互为关联”的抛物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D（6，﹣1）． (1)直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式； (2)抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)如图2，点F（﹣6，3）在抛物线C1上，点M，N分别是抛物线C1，C2上的动点，且点M，N的横坐标相同，记△AFM面积为S1（当点M与点A，F重合时S1＝0），△ABN的面积为S2（当点N与点A，B重合时，S2＝0），令S＝S1+S2，观察图象，当y1≤y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值． 【变式训练】 1．（2023春·福建福州·九年级福建省福州格致中学校考期中）新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为． (1)写出的解析式（用含的式子表示）及顶点坐标； (2)若，过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线，于点，． ①当时，求点的坐标； ②当时，的最大值与最小值的差为，求的值． 【考点二 新定义型二次函数——友好同轴二次函数】 例题：（2023·贵州遵义·统考三模）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为． (1)函数的对称轴为__________．其友好同轴二次函数为__________． (2)已知二次函数（其中且且），其友好同轴二次函数记为． ①若函数的图象与函数的图象交于A、B两点（点A的横坐标小于点B的横坐标），求线段的长； ②当时，函数的最大值与最小值的差为8，求a的值． 【变式训练】 1．【概念感知】我们把两个二次项系数之和为1，对称轴相间，且图象与y轴交点也相同的二次函数称为“友好对称二次函数”，例如：的“友好对称二次函数”为． 【特例求解】（1）的“友好对称二次函数”为______________；的“友好对称二次函数”为____________． 【性质探究】（2）关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是___________（填入正确的序号） ①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”； ②二次项系为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身； ③的“友好对称二次函数”为． ④任意两个“友好对称二次函数”与y轴一定有交点，与x轴至少有一个二次函数有交点． 【拓屐应用】 （3）如图，二次函数与其“友好对称二次函数”都与y轴交于点A，点B，C分别在，上，点B，C的横坐标均为，它们关于的对称轴的称点分别力，，连接，，，． ①若，且四边形为正方形，求m的值； ②若，且四边形邻边之比为，直接写出a的值． 【考点三 新定义型二次函数——衍生抛物线】 例题：（2023秋·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程： 求解体验： (1)已知抛物线经过点，则b＝ ，顶点坐标为 ，该抛物线关于点成中心对称的抛物线表达式是 ． 抽象感悟： 我们定义：对于抛物线，以y轴上的点为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”． (2)已知抛物线关于点的衍生抛物线为，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围． 问题解决： (3)已知抛物线． ①若抛物线y的衍生抛物线为，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a，b的值及衍生中心的坐标； ②若抛物线y关于点的衍生抛物线为，其顶点为；关于点的衍生抛物线为，其顶点为；…；关于点的衍生抛物线为，其顶点为，…（为正整数）．求的长（用含n的式子表示）． 【变式训练】 1．我们定义：对于抛物线（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点M成中心对称的抛物线y'，则我们称抛物线y'为抛物线y的“衍