专题05 最短路径问题（将军饮马）（知识串讲+4大考点）-【一遍过】2023-2024学年八年级数学上册重难考点一遍过（人教版）

专题05 最短路径问题（将军饮马） 考点类型 知识串讲 （一）将军饮马模型 ①两定一动 ②一定两动 ③两定两动 考点训练 考点1：两定一动 典例1：（2022秋·安徽池州·九年级统考期末）如图，中，，点P为AC边上的动点，过点P作于点D，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D． 【变式1】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AD是等边△ABC的BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上动点，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（　　） A．15° B．22.5° C．30° D．45° 【变式2】（2022秋·全国·八年级期末）如图，已知正六边形的边长为2，，分别是和的中点，是上的动点，连接，，则的值最小时，与的夹角（锐角）度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，直线是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（    ） A． B． C． D． 考点2：一定两动 典例2：（2023春·山东济南·七年级济南育英中学校考阶段练习）如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点 M、N，使得的周长最小，则的度数为（　　 ）    A． B． C． D． 【变式1】（2019秋·内蒙古通辽·八年级校考期中）如图，分别是线段的垂直平分线，，一只小蚂蚁从点M出发爬到边上任意一点E，再爬到边上任意一点F，然后爬回M点，则小蚂蚁爬行的最短路径为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2022·全国·八年级专题练习）如图，若∠AOB=44°，为∠AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为(         ) A．82° B．84° C．88° D．92° 【变式3】（2022秋·重庆·八年级重庆市育才中学校考阶段练习）如图所示，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP＝2，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点O到线段MN的距离为（  ） A．1 B．2 C．4 D．1.5 考点3：两定两动 典例3：（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在边长为8的正方形中，点G是边的中点，E、F分别是和边上的点，则四边形周长的最小值为______． 【变式1】（2022秋·全国·九年级专题练习）在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2 (1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE； (2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长； (3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积． 考点4：造桥选址 典例4：（2023秋·七年级单元测试）如图，直线，表示一条河的两岸，且 ．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（ ） A． B． C． D． 【变式1】（2023春·全国·七年级专题练习）已知村庄A和B分别在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN(假定河的两岸彼此平行，且桥与河岸互相垂直)，下列示意图中，桥的建造位置能使从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短的是(    ) A． B． C． D． 【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，平行河岸两侧各有一城镇，，根据发展规划，要修建一条桥梁连接，两镇，已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（    ） A． B． C． D． 同步过关 一、单选题 1．（2022秋·八年级课时练习）如图，在中，点E、D分别在、的延长线上，与的平分线相交于点P，，与交于点H，交于F，交于G，下列结论：①；②平分；③垂直平分，其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，等腰三角形的底边长为6，腰的垂直平分线分别交边、于点，，若为边的中点，为线段上一动点，若三角形的周长的最小值为，则等腰三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2023秋·广东江门·八年级统考期中）如图，中，，，平分，如果、分别为、上的动点，那么的最小值是（    ）