5.4 三角函数的图像与性质-2023-2024学年高一数学《赢在新起点》同步课堂备课讲义（人教A版2019必修第一册）

5.4三角函数的图像与性质 知识点 1 周期函数 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足 ，那么函数就叫做 ，叫做该函数的周期. PS ①从解析式来看：任一自变量对应函数值与增加后对应函数值相等； ②从图象看：整体函数图象是由一部分图象像“分身术”一样向两边延申，而那一部分图象的水平长度就是其正周期！ ③ 三角函数就是典型的周期函数. 2 正弦函数，余弦函数的图像与性质 注 表中的 图像 定义域 值域 最值 当时，； 当时，. 当时，； 当时，. 周期性 对称中心 对称轴 单调性 在上是增函数； 在上是减函数. 在上是增函数； 在上是减函数. 3 正切函数的图像与性质 注 表中的 图像 定义域 值域 最值 既无最大值也无最小值 周期性 对称中心 对称轴 无对称轴 单调性 在上是 典型例题 1、 下列函数中，关于直线对称的是(　　) ． ． ． ． 2、关于函数有下述四个结论： ①是周期函数；②的最小值为； ③的图象关于轴对称；④在区间单调递增． 其中所有正确结论的编号是(　　) ．①② ．①③ ．②③ ．②④ 3、已知函数)的最小正周期为，且关于中心对称，则下列结论正确的是(　　) 4、 设，若在上为增函数，则的取值范围是　 　． 5、 已知函数在上单调递增，则的最大值是　 　. 基础题型训练 一、单选题 1．函数的图象与函数的图象的交点个数是 A．2 B．3 C．4 D．5 2．下列函数最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数有且仅有一个零点，则实数（    ） A． B． C． D．2 4．下列函数中，周期是，且在上是减函数的是 A． B． C． D． 5．下列函数①；②；③；④；⑤；⑥中最小正周期为的函数的个数为（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的最大值为 C．的图象关于直线对称 D．在区间上有3个零点 二、多选题 7．若函数的最小正周期为，则的值可能是（    ） A．2 B． C． D．-2 8．下列函数中，以为最小正周期的函数有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．函数的定义域为___________ 10．函数的对称轴是___________. 11．函数最大值为______． 12．已知函数，的值域为，则实数的取值范围为__________. 四、解答题 13．最小正周期是 (1)求的值； (2)求函数的单调增区间. 14．已知函数的最小正周期为，最小值是2，且图像过点，求这个函数的解析式． 15．已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若，，求函数的最值. 16．已知函数（）的一段图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）若，求函数的值域. 提升题型训练 一、单选题 1．根据函数的图像，可得方程的解为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 2．若函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的零点个数为（    ） A． B． C． D． 4．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被函数的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图)，其中阴影部分小圆的周长均为，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（    ） A．   B． C． D． 5．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，则下列命题错误的是(   ) A．函数是奇函数，且在上是减函数 B．函数是奇函数，且在上是增函数 C．函数是偶函数，且在上是减函数 D．函数是偶函数，且在上是增函数 二、多选题 7．函数的部分图象如图，，是的两个相邻正零点，其中是最小的正零点．则（    ）    A． B． C．曲线的对称轴是 D．在区间上单调递减 8．对于函数下列说法中不正确的是 A．该函数的值域是 B．当且仅当时，函数取得最大值1 C．当且仅当时，函数取得最小值－1 D．当且仅当时， 三、填空题 9．函数的最小正周期________ 10．函数的最小正周期为_______. 11．关于函数有如下四个命题： ①的最小正周期为2； ②的图象关于点对称； ③若，则的最小值为； ④的图象与曲线共