第05讲 直角三角形的性质与判定综合（知识解读+真题演练+课后巩固）-2023-2024学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版）

第05讲 直角三角形的性质与判定综合 1．掌握直角三角性的性质及有关运算； 1. 能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL）及其应用. 直角三角形的性质与判定 性质 1. 两锐角之和等于90° 2. 斜边上的中线等于斜边的一半 3. 30°角所对的直角边等于斜边的一半 4. 若有一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°（应用时需先证明） 判定 1. 有一个角为90°的三角形时直角三角形 2. 有两个角的和时90°的三角形是直角三角形 3. 一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形 面积公式 ，其中a是底边常，hs是底边上的高 【题型1 根据直角三角形的性质求角度】 【典例1】（2023春•洪江市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝52°，则∠A等于（　　） A．58° B．48° C．38° D．28° 【变式1-1】（2023春•清远期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝50°，∠C＝（　　） A．40° B．50° C．30° D．45° 【变式1-2】（2023春•渠县校级期末）在△ABC中，∠A＝20°，∠C＝90°，则∠B的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【变式1-3】（2023春•普宁市期末）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝56°，AD⊥BC，DE∥AC．则∠ADE的度数为（　　） A．56° B．46° C．44° D．34° 【题型2 三角形板与平行线综合应用】 【典例2】（2023•扶风县一模）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的大小为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 【变式2-1】（2023•梁园区一模）如图，直线a∥b，Rt△ABC如图放置，若∠1＝28°，∠2＝80°，则∠B的度数为（　　） A．62° B．52° C．38° D．28° 【变式2-2】（2023春•文成县期中）如图所示，直线a∥b，直角△ABC的顶点C在直线b上．若∠1＝33°，则∠2的度数为（　　） A．57° B．47° C．67° D．33° 【变式2-3】（2023•平江县模拟）如图，直线DE∥BF，Rt△ABC的顶点B在BF上，若∠ADE＝70°，则∠CBF的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．30° 【题型3 直角三角形解答题综合应用】 【典例3】（2022春•贵溪市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F． （1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数； （2）试说明：∠AEF＝∠AFE． 【变式3-1】（2022春•滨海县期中）如图，AD⊥BC，垂足为D，点E在AC上，且∠A＝30°，∠B＝40°．求∠BFD和∠AEF的度数． 【变式3-2】（2023春•玄武区期末）请把下面的证明过程补充完整． 已知：如图，AD是△ABC的高，点E在AC上，G在AB上，∠2+∠C＝90°，∠1＝∠2． 求证：GD∥AC． 证明：∵AD是△ABC的高， ∴AD⊥BC（三角形高线的定义）， ∴∠ADC＝90°（ 　 　①）， ∴∠3+∠C＝90°（直角三角形两个锐角互余）， 又∵∠2+∠C＝90°（已知）， ∴　 　②（ 　 　③）， 又∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝∠3（ 　 　④）， ∴GD∥AC（ 　 　⑤）． 【题型4 直角三角形全等的判定】 【典例4】（2023春•莲湖区期末）如图，AC与BD相交于点O，DA⊥AC，DB⊥BC，AC＝BD．说明OD＝OC成立的理由． 【变式4-1】（2023春•章丘区期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE＝DF．求证：Rt△BDE≌Rt△CDF． 【变式4-2】（2023春•石阡县期中）如图，已知AD⊥BE，垂足C是BE的中点，AB＝DE．求证：Rt△ABC≌Rt△DEC． 【变式4-3】（2022春•平远县期末）如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF． 1．（2022•绍兴）如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 2．（2022•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，则∠A的度数为（　　） A．34° B．44° C．124° D．134° 3．（202