专题08 函数的奇偶性、对称性及周期性压轴题（四类题型+过关检测）-【常考压轴题】2023-2024学年高一数学上学期压轴题攻略（人教A版2019必修第一册）

专题08 函数的奇偶性、对称性及周期性压轴题（学生版） 1.函数的奇偶性 函数 定义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且____________，那么函数f(x)就叫做偶函数 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且_____________，那么函数f(x)就叫做奇函数 2.奇偶函数的性质 (1)奇函数的图象关于______对称，偶函数的图象关于_____对称． (2)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝___． (3)若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性_____； 若偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性______． (4)若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)，反之也成立． (5)在函数f(x)，g(x)的公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． (6)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． 3.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有 x＋T∈D，且__________，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_____的正数，那么这个____________就叫做f(x)的最小正周期． 4.函数对称性的常见结论 (1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． (2)若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(x)的图象关于直线x＝a对称． 若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(x)的图象关于点(a，0)中心对称． (3)函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(2a＋x)＝f(－x)⇔f(2a－x)＝f(x)． (4)函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称⇔f(a－x)＝－f(a＋x)⇔f(2a－x)＝－f(x)⇔f(2a＋x)＝－f(－x)． 题型一 判断函数的奇偶性 例1.（1）已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，且与的图象关于轴对称，则（     ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．关于点对称 D．关于直线对称 (2).函数的定义域为R，且与都为奇函数，则下列结论错误的是（    ） A．为奇函数 B．为周期函数 C．为奇函数 D．为偶函数 (3).已知定义在上的函数满足，，，且当时，，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 练习题 （1）设函数，则下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． (2).若定义在上的函数满足：对任意有则下列说法一定正确的是 A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 (3)．设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A．+|g(x)|是偶函数 B．-|g(x)|是奇函数 C．|| +g(x)是偶函数 D．||- g(x)是奇函数 (4)．函数的定义域为R，若与都是奇函数，则 A．是偶函数 B．是奇函数 C． D．是奇函数 题型二 对称性与周期性 例2.（1）已知函数的定义域为，且都有，则下列说法正确的命题是（    ） ①；②； ③关于点对称；④ A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④ （2）已知函数的定义域为，若为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． （3）若函数的定义域为，是偶函数，且．则下列说法正确的个数为（    ） ①的一个周期为2；             ②； ③的一条对称轴为；         ④． A．1 B．2 C．3 D．4 （4）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，． (1)求证：是周期函数； (2)当时，求的解析式； (3)计算． 练习题 (1).已知是定义在上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的周期为2 B．函数关于直线对称 C．函数关于点中心对称 D． (2).已知函数是R上的偶函数，是R上的奇函数，且，求证：是周期函数. (3).我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数. (1)依据推广结论，求函数图象的对称中心； (2)请利用函数的对称性求的值； (3)类比上述推广结论，写出“函数的图象关于x轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.（不需要证明） 题型三 奇偶性、对称性、周期