专题07 函数的单调性及最值压轴题（5类题型+过关检测）-【常考压轴题】2023-2024学年高一数学上学期压轴题攻略（人教A版2019必修第一册）

专题07 函数的单调性和最值压轴题 1.单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，称它是增函数 当x1<x2时，都有，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，称它是减函数 2.单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上 单调递增 或 单调递减 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 3.函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有；　 (2)∃x0∈D，使得　 (1)∀x∈D，都有；　 (2)∃x0∈D, 使得　 结论 M为最大值 M为最小值 4.与单调性有关的结论 (1)∀x1，x2∈D且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间D上单调递增(减)． (2)在函数f(x)，g(x)的公共定义域上，有如下结论： ①若f(x)，g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是增(减)函数； ②若f(x)是增(减)函数，g(x)是减(增)函数，则f(x)－g(x)是增(减)函数． (3)若函数f(x)在区间D上具有单调性，则f(x)在区间D上具有以下性质： ①当a>0时，函数af(x)与f(x)有相同的单调性，当a<0时，函数af(x)与f(x)有相反的单调性； ②当函数f(x)恒为正(或恒为负)时，f(x)与有相反的单调性； ③若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性． (4)“对勾函数”f(x)＝x＋(p>0)的单调递增区间是(－∞，－)，(，＋∞)；单调递减区间是(－，0)，(0，)． 题型一 求函数的单调区间 例1.（1）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求定义域即.令是二次函数,根据二次函数图像即可求得其单调区间,根据复合函数同增异减,即可求得单调递增区间. 【详解】， 即， 得， 定义域为， 又单调递增区间为， 函数的单调递增区间 故选：C. 【点睛】对于复合函数单调性的判断要掌握同增异减,对函数的内层和外层分别判断,即可得出单调性.求单调区间时,要先求函数定义域,单调区间是定义域的子集. (2).若定义在上的函数满足，则的单调递增区间为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】当可求得；当时，，由已知关系式可得，进而得到；由二次函数性质可得单调递增区间. 【详解】当时，，则， 在上单调递增； 当时，，， ， 在上单调递增； 综上所述：的单调递增区间为和. 故选：B. (3)．如果函数在区间上是增函数，而函数在区间上是减函数，那么称函数在区间上为“缓增函数”，区间为的“缓增区间”.若函数是区间上的“缓增函数”，则的“缓增区间”为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得，利用双勾函数的单调性可求出函数的单调递减区间，并求出函数的单调递增区间，取交集可得出的“缓增区间”. 【详解】由二次函数的基本性质可知，函数的单调递增区间为. 设，则函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，下面来证明这一结论. 任取、且，即， ， ，则，，所以，， 所以，函数在区间上为增函数，同理可证函数在区间上为减函数. 因此，的“缓增区间”为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，求解本题的关键在于理解“缓增区间”的定义，结合二次函数和双勾函数的单调性求对应函数的单调区间. (4).已知函数．（其中） (1)求函数的单调增区间； (2)若对任意，使得恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)和 (2) 【分析】（1）由题意得：，由分段函数的性质以及二次函数的单调性即可求解； （2）由（1）可以对参数进行分类讨论，当时，需要讨论与大小关系，结合二次函数的图像和性质，分别求出函数的最值，列出关于的不等式，求解即可得出答案. 【详解】（1） 因为 所以函数为上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，即其单调增区间为和． （2）因为， ①当时，，由（1）可知在上为增函数，所以满足题设， ②当时，由（1）可知，需要讨论与大小关系， （ⅰ）当时，函数为上为增函数，在上为减函数， 所以最大值为，最小值在两端点取， 所以又， 所以， （ⅱ）当时，函数为上为增函数，在上为减函数， 在上为增函数， 又， 所以最大值为，最小值在或处取， 所以， 又，所以， 综上所述，． 练习题 (1).函数的递增区间是( ) A．