3.3 幂函数（精讲）-2023-2024学年高一数学《一隅三反》系列（人教A版2019必修第一册）

3.3幂函数（精讲） 一．幂函数 1.概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 2.特征：①xα的系数为1；②xα的底数是自变量；③xα的指数为常数，只有同时满足这三个条件　 二.幂函数的图象和性质 1.五个幂函数的图象： 2.幂函数的性质： 幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x∈[0，＋∞)，增 x∈(－∞，0]，减 增 增 x∈(0，＋∞)，减 x∈(－∞，0)，减 公共点 都经过点(1，1) 3.一般幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)α＞0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． (3)α＜0时，幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴． (4)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限． (5)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点．除(1,1)，(0,0)，(－1,1)，(－1，－1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点． (6)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的幂指数由大变小.　 1． 判断一个函数是否为幂函数的依据 是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα系数为1. 二．解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂的指数大小，相关结论为： ①在(0，1)上，幂的指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)； ②在(1，＋∞)上，幂的指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂的指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象 三．比较幂值大小的两种基本方法 直接法 当幂的指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较 转化法 当幂的指数不相同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小 考点一 与幂函数概念相关的问题 【例1】（2023·江苏扬州）已知幂函数的图像经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2023·全国·高一假期作业）已知幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过点，则f(9)＝（    ） A． B． C．3 D． 2．（2022秋·安徽合肥·高一校考期末）已知幂函数 (α是常数)的图象经过点，那么（    ） A．4 B．-4 C． D．- 3．（2023春·内蒙古呼和浩特·高一呼和浩特市土默特中学校考开学考试）已知幂函数的图象过点，则（    ）． A． B．4 C． D．8 考点二 幂函数的图像及应用 【例2-1】（2023·海南）给定一组函数解析式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（    ）                 A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤ C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤① 【一隅三反】 1．（2023黑龙江哈尔滨）若点在幂函数的图象上，则的图象大致是（    ） A．B．C． D． 2．（2023·北京）如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（   ） A．①，②，③ B．①，②，③ C．①，②，③ D．①，②，③ 3．（2023·福建泉州·高一校考期中）已知幂函数，其图像与坐标轴无交点，则实数m的值为__________． 考点三 比较幂值的大小 【例3】（2023·安徽合肥·高一统考期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2023春·浙江·高一校联考期中）记，则（    ） A． B． C． D． 2．（2022秋·高一课时练习）设，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2023·河北）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 考点四 幂函数性质的综合运用 【例4-1】（2023·四川成都）幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【例4-2】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考开学考试）已知幂函数在区间上单调递增.请从如下2个条件：①对任意的，都有；②对任意的，都有中任选1个作为已知条件，求解下列问题. (1)求的解析式； (2)在（1）问的条件下，