3.2.2 函数的奇偶性（精讲）-2023-2024学年高一数学《一隅三反》系列（人教A版2019必修第一册）

3.2.2 函数的奇偶性（精讲） 一．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 1.奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(x)＋f(－x)＝0，偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0. 2.x具有对称性．因为函数y＝f(x)的奇偶性考查的是f(－x)与f(x)的关系，所以f(x)与f(－x)都有意义，即x与－x都应在函数的定义域内，所以定义域在数轴上关于原点对称．否则，这个函数一定不具有奇偶性，例 3.若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 4.既是奇函数又是偶函数的函数只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的非空数集.　　　 二.函数的奇偶性与单调性 1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数，则f(x)在[－b，－a]上为增函数，即在对称区间上单调性一致(相同). 2.若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数，则f(x)在[－b，－a]上为减函数，即在对称区间上单调性相反. 三.奇偶函数的运算性质 在公共定义域内： 1.两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数； 2.两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数； 3.一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数. 四.函数的对称轴与对称中心(拓展) (1)若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(T＋x)＝f(T－x)(T为常数)，则x＝T是f(x)的对称轴. (2)若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(a，b为常数)，则(a，b)是f(x)的对称中心. 一．判断函数奇偶性的方法 1.定义法：一求二看三判断 2.图象法 3.性质法 设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 4.分段函数奇偶性的判断，要分别从x＞0或x＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性． 二．利用奇偶性求解析式 1.求哪个区间上的解析式，x就设在那个区间上；(2)把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中； 2.利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x). 三．利用函数奇偶性和单调性解不等式 1.利用图象解不等式． 2.转化为简单不等式求解． （1）利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)的形式； （2）根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解． 注意：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域．　 四．比较大小的 1.在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小． 2.不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．　　 五．函数的周期性、奇偶性与单调性的综合应用 函数周期性的概念：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期，T的最小正数取值称为函数f(x)的最小正周期． 考点一 函数奇偶性的判断 【例1-1】（2023·山西）判断下列函数的奇偶性： (1) ； (2) ； (3). （4）； （5） 【一隅三反】 1．（2023春·上海宝山）函数的奇偶性为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 2．（2023·高一课时练习）函数的奇偶性是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 3．（2023·北京）下列函数中，是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·天津滨海）下列判断正确的是（ ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 5．（2023·全国·高一假期作业）对于两个定义域关于原点对称的函数和在它们的公共定义域内，下列说法中正确的是（    ） A．若和都是奇函数，则是奇函数 B．若和都是偶函数，则是偶函数 C．若是奇函数，是偶函数，则是偶函数 D．若和都是奇函数，则不一定是奇函数 考点二 奇偶函数的图像特征 【例2】（2022秋·安徽马鞍山）已知定