专题22.5 二次函数y=a(x-h)²(a≠0)与y=a(x-h)²+k(a≠0)图象与性质（知识梳理与题型讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题22.5 二次函数(a≠0)与+k(a≠0)图象与性质（知识梳理与题型讲解） 【知识点1】二次函数与函数的图象与性质 1.函数的图象与性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 2.函数的图象与性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 特别说明： 二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题． 【知识点2】二次函数的平移 1.平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2.平移规律： 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 特别指出： ⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成 （或）（一般式在以后学习） ⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）（一般式在以后学习） 【考点一】二次函数与函数的对称轴、顶点坐标、开口方向 【例1】写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) (2) (3) ． 【答案】(1)开口向下，对称轴是，顶点坐标为；(2)开口向上，对称轴是，顶点坐标为；(3)开口向上，对称轴是，顶点坐标为 【分析】（1）（2）（3）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答； （1）解：∵抛物线， ∴开口向下，对称轴是，顶点坐标为； （2）解：∵抛物线， ∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为； （3）解：∵抛物线， ∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为． 【点拨】本题考查了二次函数的性质吗，对称轴，顶点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【举一反三】 【变式】已知抛物线． (1) 该抛物线开口向 　　，对称轴是 　　，顶点坐标是 　　． (2) 在直角坐标系中画出的图象． 【答案】(1)下，直线x＝2，（2，3） (2)见分析 【分析】（1）找到对称轴两侧的关键点及顶点坐标即可；（2）由表中的点，即可画出函数图象． （1）解：由抛物线可知，a＝﹣1＜0，开口向下， 对称轴是：直线x＝2，顶点坐标为：（2，3）； 故答案为：下，直线x＝2，（2，3）； （2）①列表： x … 0 1 2 3 4 … y … ﹣1 2 3 2 ﹣1 … 故答案为：（0，﹣1），（1，2），（2，3），（3，2），（4，﹣1）； ②描点、连线： 【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握函数图象的画法，理解二次函数的性质． 【考点二】二次函数与函数的图象位置 【例2】已知二次函数，其中，，，，则函数图象大致是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得抛物线开口向上，对称轴，顶点坐标在第四象限，即可求解． 解：， 抛物线开口向上， ，， 对称轴，顶点坐标在第四象限． 故选A． 【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】二次函数的图像如图所示，则点所在的象限是（　　）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据函数解析式得出顶点为，根据图像可得，即可得出，则 所在的象限即可判定． 解：二次函数， 顶点为， 由函数图像可知，抛物线的顶点在第四象限， ， ， 在第三象限． 故选：C． 【点拨】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的性质，先分析信息，再进行判断是解题的关键． 【变式2】若二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】根据顶点坐标，进行判断即可． 解：∵， ∴顶点坐标为：， ∴顶点坐标在第四象限， ∴原点在函数顶点的左上方， 由图可知，坐标原点只可能是点； 故选A． 【点拨】本题考查二次函数的性质及二次函数的图象，确定二次函数图象的顶点坐标是解题的关键． 【考点三】二次函数与函数的增减性 【例3】已知抛物线． (1) 其开口方向为____________． (2) 顶点坐标为______________． (3) 当x___________时，y随x的增大而增大． (4) 最_____