22.1.2 二次函数y=ax²的图象和性质 课件 2023-2024学年人教版九年级数学上册

第二十二章 二次函数 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 温故知新 形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项. 温馨提示： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 二次函数的定义： 思考： 一次函数的图像是一条直线,二次函数的图像是什么形状呢?通常怎样画一个函数的图像? 1、列表 2、描点 3、连线 描点法画函数图像的一般步骤： 问题1：用描点法画函数图象的一般步骤是什么？ 问题2：我们学过的一次函数的图象是什么图形？ 那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们来学习最简单的二次函数y=ax2的图象. ①列表；②描点；③连线 一条直线 先画二次函数y = x2的图象 二次函数y = ax2的图象的画法 x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ··· 1.列表 2.描点 3.连线 3 6 9 y O -3 3 x 4 3 6 9 y O -3 3 x 观察：二次函数y = x2的图象像什么？ 抛物线y = x2 事实上，二次函数的图象都是抛物线， 它们的开口或者向上或者向下． 一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c. 二次函数y = ax2的图象和性质 3 6 9 y O -3 3 x 函数y = x2的图象开口______. 向上 抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。 这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴. 顶点坐标是________. 顶点是图象的最____点. （0，0） 低 在抛物线y = x2上 任取一点（m，m2）， 因为它关于y轴的对称 点（-m，m2）也在抛 物线y = x2上，所以抛 物线y = x2关于y轴对称。 特征 1. 顶点都在原点; 3.当a>0时，开口向上； 顶点是抛物线的最低点, 当a<0时，开口向下， 顶点是抛物线的最高点,． 二次函数y=ax2 的图象性质： 2. 图像关于y轴对称; 知识精讲 观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什么？ 二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称. x y O y=ax2 y=-ax2 知识精讲 观察图形，y随x的变化如何变化？ (-2,4) (-1,1) (2,4) (1,1) 对于抛物线 y = ax 2 （a＞0） 当x＞0时，y随x取值的增大而增大；当x<0时，y随x取值的增大而减小. 知识精讲 观察图形，y随x的变化如何变化？ (-2,-4) (-1,-1) (2,-4) (1,-1) 对于抛物线 y = ax 2 （a＜0） 当x＞0时，y随x取值的增大而减小；当x<0时，y随x取值的增大而增大. 知识精讲 y＝ax2 a>0 a<0 图象 位置开 口方向 对称性 顶点最值 增减性 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方 关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 y O x y O x 知识精讲 随堂演练 1.函数y = 2x2的图象的开口_______，对称轴是_______，顶点是________ . 向上 y轴 （0，0） a = 2>0 2. 已知下列二次函数①y=-x2；②y= x2；③y=15x2；④y =-4x2；⑤y = 4x2. （1）其中开口向上的是________（填序号）； （2）其中开口向下且开口最大的是______（填序号）； （3）有最高点的是_______（填序号）. ② ③ ⑤ ① ① ④ 开口向下 a<0 3. 分别写出抛物线y=4x2与 的开口方向、对称轴及顶点坐标. 解：抛物线y=4x2的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标（0，0）； 抛物线 的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标（0，0）. y O x y O x 二次函数 的图象及性质： (1)形状、对称轴、顶点坐标； (2)开口方向、开口大小； (4)对称轴两侧增减性。 (3)最大最小值、最高最低点 本课小结 y