2.2 基本不等式(第1课时)课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2 基本不等式 (第一课时) 合作探究一 基本不等式的推导 前面我们利用面积法和完全平方公式得出了一类重要不等式： ，有： 当且仅当时，等号成立. 问题1 特别地，如果，我们用分别代替上式中的 ，可以得怎样的式子？ 问题引入 基本不等式 当且仅当a =b时，等号成立. 我们把 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数； 代数意义： 两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数. 新知探究 适用范围 文字叙述 “=”成立条件 a=b a=b 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 两数的平方和不小于它们积的2倍 a,b∈R a>0,b>0 重要不等式与基本不等式的比较： 总结提升 问题2 能否直接利用不等式的性质证明基本不等式呢？ 当然，我们可以用做差比较法证明基本不等式。 谁来试试？ 这里我们介绍一种新的方法，叫做分析法。 新知探究 WINDOWS7 (W) - 证明:要证 ① ② 要证②，只要证 ③ 要证③，只要证 ④ 证明:当 时, . 2 要证④，只要证 ⑤ 只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了。 显然: ⑤ 是成立的,当且仅当 a=b 时 ⑤ 中的等号成立. 问题3：你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? Rt△ACD∽Rt△DCB， A B C D E a b O 如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD. ① 表示哪条线段? ② 对应哪个线段呢？ 合作探究二 基本不等式的几何意义 新知探究 ③OD与CD的大小关系怎样? CD _____OD 如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD. A D B E O C a b 用不等式表示为 思考：图中什么时候 = ？ 新知探究 合作探究三 利用基本不等式求最值 ≥ (a>0, b>0) ≤()2 (a>0, b>0) ≤ (a>0, b>0) （1）如果积xy等于定值P,那么当____时，和x+y有最小值________ （2）如果和x+y等于定值S,那么当____时，积xy有最大值________ x=y x=y 已知x,y都是正数， 积定和最小，和定积最大 总结提升 解：因为 x>0, 所 以 x 当且仅当 x 即 x=1时等号成立，因此所求的最小值为2 思考：如果将条件x>0改为x>1， 典例分析 结合图像可知，当x>1 时， y 的取值范围为(2,+), 此时函数没有最小值。 由此你说说利用基本不等式 求两个数和或积的最值， 需要满足哪些条件？ (1) ； (2) ； (3) . a,b都是正数 和或积为定值 等号成立的条件(即a=b)要具备 一正、二定、三相等 课本46页第1，2，3题 课堂练习 1、重要不等式与基本不等式的内容： 2、基本不等式的应用： 求最值,证明不等式 课堂小结 $$