微专题 利用平均值不等式解决实际问题讲义-2024届上海市高考数学一轮复习

微专题 利用平均值不等式解决实际问题 知识梳理 学习笔记 “微专题”是指：针对教材中的“四基”、“四能”、数学方法、数学思想等的一种“小切口”，专门确立一个短小精悍的研究主题，帮助学生更好地纠正易错点，强化重点，突破难点，弥补盲点；精准定位，措施得当，巩固提升； 1．基本不等式在不等式部分处于核心地位，掌握它的“正、常、等”的特征及它在解决求最值、比较大小、证明不等式等方面的巧妙应用． 2．基本不等式的定义及运用基本不等式解决简单的最值问题．当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值．求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围．基本不等式是解决求最值问题的有利工具，观察使用前提是否满足，使用中的结构配凑对学生的综合能力有所要求． 3．高考中考查利用基本不等式求最值、证明不等式、求参数的取值范围等，常与函数结合命题，解题时要注意应用基本不等式的三个前提条件． 1．基本不等式≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中称为正数a，b的算术平均数，_称为正数a，b的几何平均数． 2．几个重要的不等式 (1)≥. (2)＋≥2(ab>0). (3)≤≤≤ (a＞0，b＞0). 利用基本不等式解决实际应用问题的思路 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解． 　　几点注意 (1)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件. (2)注意基本不等式成立的条件是a>0,b>0,若a<0,b<0,应先转化为-a>0,-b>0,再运用基本不等式求解. (3)“当且仅当a=b时等号成立”的含义是“a=b是等号成立的充要条件”,这一点至关重要,忽略它往往会导致解题错误. (4)要多次运用基本不等式才能求出最后结果的题目切记等号成立的条件要一致 18.某校要建一个面积为450平方米的矩形球场，要求球场的一面利用旧墙，其他各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个3米的进出口(如图).设矩形的长为x米，钢筋网的总长度为y米． (1)列出y与x的函数关系式，并写出其定义域； (2)问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？ (3)若由于地形限制，该球场的长和宽都不能超过25米，问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？ 解　(1)由题意知，矩形的宽为米， y＝2·－3＋x＝＋x－3， 因为>3，所以0<x<150，所以函数的定义域为{x|0<x<150}． (2)y＝＋x－3≥2－3＝60－3＝57， 当且仅当即x＝30时取等号，此时宽为＝15米， 所以长为30米，宽为15米时，所用的钢筋网的总长度最小． (3)由题意，得0<x≤25，3<≤25， 解得x∈[18，25]， 设f(x)＝＋x－3(18≤x≤25)，18≤x1<x2≤25， 则f(x2)－f(x1)＝－＝， ∵18≤x1<x2≤25， ∴x2－x1>0，x1x2>0，x1x2－900<0， ∴f(x2)－f(x1)<0， ∴f(x2)<f(x1)， ∴f(x)在[18，25]上单调递减， ∴当x＝25时，f(x)min＝f(25)＝＋25－3＝58， 此时长为25米，宽为＝18米． 所以长为25米，宽为18米时，所用的钢筋网的总长度最小． 　基本不等式的实际应用　【典例迁移】 　　2021年9月17日13时34分,神舟12号返回舱在东风着陆场成功着陆,它是中国成为太空大国的里程碑.2021年6月17日将神舟12号载人飞船送入太空的长征二号F运载火箭在设计生产中采用了很多新技术新材料.甲工厂承担了某种材料的生产,并以x千克/时(为保证质量要求1≤x≤10)的速度匀速生产,每小时可消耗A材料(kx2+9)千克,已知每小时生产1千克该产品时,消耗A材料10千克. (1)设生产m千克该产品,消耗A材料y千克,试把y表示为x的函数. (2)要使生产1000千克该产品消耗的A材料最少,工厂应选取何种生产速度?并求消耗的A材料最少为多少. 考点3 【例4】　【解析】(1)由题意得k+9=10,解得k=1, 因为生产m千克该产品需要的时间是, 所以y=(kx2+9)=m,1≤x≤10. (2)由(1)知,生产1000千克该产品消耗的A材料为y=1000x+≥1000×2=6000(千克), 当且仅当x=,即x=3时,等号成立, 故工厂应选取3千克/时的生产速度,此时消