微专题 利用基本不等式比较大小讲义-2024届上海市高考数学一轮复习

微专题 利用基本不等式比较大小 【学生版】 知识梳理 学习笔记 “微专题”是指：针对教材中的“四基”、“四能”、数学方法、数学思想等的一种“小切口”，专门确立一个短小精悍的研究主题，帮助学生更好地纠正易错点，强化重点，突破难点，弥补盲点；精准定位，措施得当，巩固提升； 基本不等式 1、定义：如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立， 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2、常用变形 （1）ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． （2）a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 典题例析 例1、已知m＝a＋(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是（ ） A．m>n　　B．m<n C．m＝n D．不确定 【提示】； 【答案】； 【解析】； 【说明】本题考查了利用基本不等式与找中间量方法，比较两代数式的；综合性强；当然， 1、在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件． 2、运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b； 例2、已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．学习笔记 【提示】； 【答案】； 【解析】； 【说明】本题考查了基本不等式以及基本不等式的变式与综合应用； 例3、设a>0，b>0，试比较，，，的大小，并说明理由； 【提示】； 【解析】 ． 例4、已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：≥9. 【提示】； 【证明】 【说明】1、所证不等式一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用均值不等式的“题眼”．可尝试用均值不等式证明；学习笔记 2、利用均值不等式证明不等式的策略：从已证不等式及问题的已知条件出发，借助不等式的性质及有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”； 3、利用均值不等式证明不等式的注意点： （1）多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立； （2）累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用； （3）对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型，再使用； 方法归纳 由基本不等式变形得到的常见的结论 ①ab≤2≤； ②≤≤(a，b∈(0，＋∞))； ③＋≥2(a，b同号)； ④(a＋b)≥4(a，b∈(0，＋∞))； ⑤a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca． 巩固练习 1、若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ） A． B． C． D． 2、已知，，且，则( ) A． B． C． D． 3、如果正数满足，那么( )学习笔记 A．，且等号成立时的取值唯一 B．，且等号成立时的取值唯一 C．，且等号成立时的取值不唯一 D．，且等号成立时的取值不唯一  4、设，，若，，，则下列关系式中正确的是(    ) A. B. C. D. 5、设，，，则(    ) A. B. C. D. 6、若，则下列不等式①；②；③；④中， 正确的不等式有( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7、已知，则下列不等式中正确的是( ) A. B. C. D. 8、设，则以下不等式中不恒成立的是( ) A. B. C. D. 9、设，，则下列不等式中一定成立的序号是 ① ② ③ ④ 学习笔记 10、已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明：＋＋≥9. 【提示】对于与基本不等式结构关联的不等式证明，可以考虑用基本不等式比较大小证明之； 微专题 利用基本不等式比较大小 【教师版】 知识梳理 学习笔记 “微专题”是指：针对教材中的“四基”、“四能”、数学方法、数学思想等的一种“小切口”，专门确立一个短小精悍的研究主题，帮助学生更好地纠正易错点，强化重点，突破难点，弥补盲点；精准定位，措施得当，巩固提升； 基本不等式 1、定义：如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立， 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2、常用变形 （1）ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． （2）a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 典题例析 例1、已知m＝a＋(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，