微专题 等式与不等式的问与答讲义-2024届上海市高考数学一轮复习

微专题 有关《第2章 等式与不等式》的问与答 【学生版】 知识梳理 学习笔记 “微专题”是指：针对教材中的“四基”、“四能”、数学方法、数学思想等的一种“小切口”，专门确立一个短小精悍的研究主题，帮助学生更好地纠正易错点，强化重点，突破难点，弥补盲点；精准定位，措施得当，巩固提升； 数量关系是数学重要的研究对象，相等关系与不等关系是最基本的数量关系，而等式和不等式则是表示相应数量关系的基本工具．等式与不等式的知识在日常生活中也有着广泛的应用；等式与不等式，作为初中数学向高中数学的过渡内容，起着承上启下的作用．同时，不等式知识又是深入学习后续高中数学内容的基础和工具，属于高中数学预备知识板块，对于提高学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算等素养具有基础性作用； 典问详答 【问题】表示不等关系的符号有哪些？ 【解析】不等式中的数学符号 文字语言 数学符号 文字语言 数学符号 大于 至多 小于 至少 大于等于 不少于 小于等于 不多于 【说明】遇题认真阅读理解，规范表示； 不等式a≤b应读作“a小于或等于b”，其含义是指“a<b和a＝b中有一个成立即可”； 等价于“a不大于b”，即若a<b和a＝b中有一个成立，则a≤b成立； 【问题】比较实数大小的依据是什么？ 【解析】两个实数比较大小的方法 （1）作差法 （2）作商法 【说明】注意作差与作商比较的前提、标准与适用范围； 【问题】不等式的性质有哪些？ 【解析】不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向可加性 同向同正 可乘性 可乘方性 可开方性 【问题】小明同学做题时进行如下变形： ∵2<b<3， ∴<<， 又∵－6<a<8，学习笔记 ∴－2<<4. 你认为正确吗？为什么？ 【解析】 【问题】由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为正确吗？ 【解析】 【说明】一定注意“依据不等式性质”进行等价变形； 【问题】你知道下面的推理、变形错在哪吗？ ∵2<a－b<4， ∴－4<b－a<－2. 又∵－2<a＋b<2， ∴0<a<3，－3<b<0， ∴－3<a＋b<3. 这怎么与－2<a＋b<2矛盾了呢？ 【解析】 【问题】一元二次不等式的最高次数是什么？学习笔记 【解析】 【说明】注意“形如”与“a≠0”；否则就要分类讨论； 【问题】一元二次不等式的解是什么？ 【解析】 【问题】一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系； 【解析】 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝ 0(a>0)的根 有两相异 实根x1，x2 (x1＜x2) 有两相等 实根x1＝ x2＝－ 没有 实数根 二次函数y＝ax2 ＋bx＋c(a>0)的 图像 ax2＋bx＋c>0 (a>0) 的解集 ax2＋bx＋c<0 (a>0) 的解集 【说明】1、利用数形结合法解一元二次不等式．在熟悉图像的前提下，关键是迅速求解对应的一元二次方程．求解时优先考虑因式分解法，其次才是公式法；2、特别地，若a<0时，应先运用不等式的性质将其化成正数，再解不等式；3、当判别式Δ＝0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)与ax2＋bx＋c≥0(a>0)的解集不同； 【问题】怎样解分式不等式？ 【解析】 【说明】关键是等价转化；学习笔记 【问题】怎样解一元高次不等式？ 【解析】 【问题】基本不等式的内容是什么？ 【解析】 【问题】两个正数满足什么条件时其积有最大值、最大小值？ 【解析】 【说明】利用基本不等式求最值 1、x, y一定是正数； 2、求积xy最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y最小值时，看积xy是否为定值； 3、等号是否能够成立； 【问题】利用函数y＝x2－2x－3的图象说明当y>0、y<0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？ 【解析】 【问题】方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？ 【解析】 【问题】由x2＋y2≥2xy知xy≤，当且仅当x＝y时“＝”成立，能说xy的最大值是吗？能说x2＋y2的最小值为2xy吗？ 【解析】 【问题】小明同学初学利用均值不等式求最值时，是这样进行的： “因为y＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x2＝1时“＝”号成立，所以y＝x＋的最小值为2.”你认为他的求解正确吗？为什么？ 【解析】 【问题】已知x≥3，求y＝的最小值，下列求解可以吗？为什么？学习笔