3.1.2椭圆的简单几何性质教案-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

椭圆的简单几何性质 【课型】新授课 【课时】45分钟 【课本】人民教育出版社A版普通高中教科书数学选择性必修第一册 【学生】高二学生 一、教材分析 1.教学内容 椭圆的范围、对称性、顶点、离心率 2.教材的地位与作用 本节课通过探究椭圆的简单几何性质，体会用曲线方程研究曲线的性质的方法。在此之前，学生掌握了椭圆的定义及其标准方程，但只是简单的探究通过曲线建立方程，而本节课结合椭圆图形研究其几何性质，渗透数形结合的方法，让学生在了解如何用曲线方程研究曲线的性质的基础上，充分体会“由数到形，由形到数”的转化，并从中体验到数学的乐趣，也为后面学习双曲线和抛物线做铺垫，为一整章的解析几何的学习奠定基础。 二、学情分析 1.椭圆在日常生活中有着广泛的应用，学生对椭圆有了一定的感性认识，并且通过“椭圆及其标准方程”的学习已熟练掌握了椭圆的定义和标准方程； 2.学生通过对前面“圆的方程”的学习，对解析几何的思想方法有了初步的理解，具备了抽象思维能力和基本的演绎推理能力。 3.本班学生基础较好，思维活跃，求知欲强，能够很好的配合教师开展教学活动。 三、教学目标 1.在直观认识椭圆的图形特点的基础上，理解用椭圆的标准方程推导出椭圆的范围、对称性、顶点、离心率这几个简单的几何性质的过程，掌握椭圆的简单几何性质，并能用它们解决简单的问题，能通过椭圆的简单几何性质得到椭圆的标准方程。 2.通过用椭圆的标准方程推导出椭圆的简单几何性质的过程，体会用曲线方程研究曲线的性质的方法，培养学生用数形结合思想解决问题的能力。 3.通过对椭圆的简单几何性质的学习，能解决生活中的一些实际问题，感受到数学的应用价值，培养学生主动用数学知识解决实际问题的意识。学生在自主探索、合作交流中获得新知识，培养学生实事求是的科学态度和锲而不舍的探索精神。 四、重点难点 1.教学重点 椭圆的简单几何性质 2.教学难点 椭圆离心率的理解和其规律的判断 五、教法学法 1.教法分析 针对本班学生的心理特征和已有知识基础，本节课主要采用启发式教学方法、引导法和演示法，引导学生主动参与，注重学生的主体地位，教师作为引导者进行点拨、总结。 2.学法指导 在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流的学习方式，让学生主动思考问题，获取知识，掌握方法。 六、教学媒体 黑板、粉笔、三角板、PPT课件、GeoGebra软件 七、教学过程 （一）创设情境，引入新知 问题1：前面我们学习了椭圆及其标准方程，回忆之前学的圆的研究过程，接下来我们应该研究什么？ 师生活动：学生回答研究椭圆的几何性质。通过观察椭圆，师生讨论，明确研究椭圆的范围、对称性、顶点、扁平程度。教师给出研究的基本思路是数形结合，先“形”后“数”，先观察椭圆的形状特征并提出猜想，再利用椭圆的标准方程进行推理与验证。 [设计意图]明确本节课的研究问题和研究方法。 （2） 合作交流，探究新知 1.范围 问题2：观察椭圆的形状，你能从图上看出它的范围吗？ 师生活动：通过观察椭圆的形状，得出曲线的范围，即曲线位于直线围成的矩形里。 追问：你能利用方程给出它的证明吗？ 师生活动：教师引导学生明确研究曲线的范围即研究方程中两个变量，的取值范围，然后给出证明：由方程可知，，即，即，同理有. [设计意图]明确研究曲线的范围，实质上是利用方程确定曲线上点的横、纵坐标的取值范围，初步掌握怎样用方程研究曲线性质。 2. 对称性 问题3：观察椭圆的形状，它具有怎样的对称性？ 师生活动：教师引导学生观察椭圆的形状，得到它既是轴对称图形，又是中心对称图形。 追问1：在直角坐标系中，要证明一个图形是否关于原点或坐标轴对称，也就是要证明什么？ 追问2：你能利用方程给出它的证明吗？ 师生活动：学生回答，教师进行总结：图形对称可以转换为图形上的点对称，因此只需证明椭圆上任意一点关于原点或坐标轴对称的点（、或）也在椭圆上（代入椭圆方程即可）。 [设计意图]明确研究曲线的对称性的实质是曲线上点的对称，以及知道怎样通过方程判断曲线是否关于原点或坐标轴对称。 3.顶点 问题4：你认为椭圆上哪些点比较特殊？为什么？ 师生活动：师生讨论何为特殊的点，即椭圆与坐标轴的交点。 追问：如何得到这些点的坐标？ 师生活动：学生回答，分别将与代入方程，得到椭圆与坐标轴的四个交点。问题解决后，教师给出椭圆的顶点、长轴、短轴、长半轴长、短半周长的概念。 [设计意图]明确曲线顶点的含义，以及知道怎样通过方程研究曲线的顶点。 4.离心率 问题5：观察右图，我们发现不同的椭圆扁平程度不同。扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？ 师生活动：同桌之间交流讨论，得出结论后抽学生进行回答：用刻画椭圆的扁平程度。教师对该回答予以肯定。 追问：能否用刻画椭圆的扁平程度呢？ 师生活动：教师