专题03 空间角的向量求法-【学霸满分】2023-2024学年高二数学上学期重难点专题提优训练（人教B版2019选择性必修第一册）

专题03 空间角的向量求法 目录 一、 知识点归纳 1 二、 题型归纳 2  【题型一】异面直线夹角 2  【题型二】已知线线夹角求其他量 4  【题型三】线面夹角 5  【题型四】已知线面角求其他量 6  【题型五】面面夹角 7  【题型六】已知面面角求其他量 8 1、 知识点归纳 （1）求异面直线所成的角 若两异面直线所成角为，它们的方向向量分别为，则有= . （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与 的角为，则有 = . （3）求二面角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则 为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若二面角的平面角的大小为，其两个面的法向量分别为，则= = （4）求平面与平面的夹角 平面与平面相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角 = . 2、 题型归纳 · 【题型一】异面直线夹角 1．如图，在正三棱柱中，，，P为线段上的动点，且，则下列命题中正确的是（    ）    A．不存在使得 B．当时，三棱柱与三棱锥的体积比值为9 C．当时，异面直线和所成角的余弦值为 D．过P且与直线和直线所成角都是的直线有三条 2．如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，E为AP的中点，则异面直线PC与DE所成的角的余弦值为（    ）      A． B． C． D． 3．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别为的中点．    (1)求证：平面； (2)设平面，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求异面直线与所成角的余弦值． 条件①：；条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 4．已知三棱台，面，，，D是线段中点，且.    (1)证明：； (2)请选择合适的基底向量，求直线与所成角的余弦值. · 【题型二】已知线线夹角求其他量 5．在棱长为1的正方体中，P为侧面（不含边界）内的动点，Q为线段上的动点，若直线与的夹角为，则下列说法正确的是（    ） A．线段的长度为 B．的最小值为2 C．对任意点P，总存在点Q，使得 D．存在点P，使得直线与平面所成的角为 6．如图，在三棱锥中，底面，.点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，.    (1)求证：平面； (2)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长． 7．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，且直线PB与CD所成角的大小为．    (1)求BC的长； (2)求二面角的余弦值． · 【题型三】线面夹角 8．如图，已知四棱锥的底面为菱形，，，．    (1)证明：平面平面； (2)是的中点，是上的一点，且平面，求直线与平面所成角的正弦值． 9．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，EC⊥平面ABCD，AB⊥BC，△ACD是等边三角形，AC＝2．    (1)若AB＝1，求证：BC⊥平面CDE； (2)若二面角E﹣AB﹣D为30°，EC＝1，求直线DE与平面ABE所成的角的正弦值． 10．如图，三棱台中，，D是AC的中点，E是棱BC上的动点．    (1)若平面，确定的位置. (2)已知平面ABC，且．设直线与平面所成的角为，试在（1）的条件下，求的最大值． 11．如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，点E为棱PC的中点．    (1)求证：平面PAD； (2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值． · 【题型四】已知线面角求其他量 12．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点.    (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 13．如图，在长方体中，，，点在长方体内（含表面）且满足．      (1)当时，证明：平面； (2)当时，是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由． 14．如图,在直三棱柱中,是以为斜边的等腰直角三角形，,分别为上的点,且.    (1)若,求证:平面; (2)若,直线与平面所成角的正弦值为,求二面角的余弦值. 15．如图，在三棱柱中，平面平面，，，，且，是棱上的一点.    (1)求证：； (2)是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. · 【题型五】面面夹角 16．如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，分别是的中点，.      (1)证明：. (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 17．在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，面，，， ,，且M是的中点．    (1)求证：平面； (2)求二面角的大小