13.4　课题学习　最短路径问题同步练习 2023-2024学年人教版八年级数学上册

第十三章　轴对称 13.4　课题学习　最短路径问题 基础过关全练 知识点1　利用轴对称知识解决最短路径问题 1.【教材变式·P85问题1】如图,A,B两个小镇在河流的同侧,随着居民用水量的增加,现需要在河边l上修建一个自来水厂P,分别向两个小镇供水,下列图形中所用水管最短的是 (　　) A　　　 　　B C　　　 　　D 2.如图所示的4×4的正方形网格中,有A、B两点,在直线a上求一点P,使PA+PB最短,则点P应选在 (　　) A.C点　　　B.D点　　　C.E点　　　D.F点 3.(2021辽宁大连六校联考)如图,OA、OB分别是线段MC、MD的垂直平分线,MD=5 cm,MC=7 cm,CD=10 cm,一只小蚂蚁从点M出发爬到OA上任意一点E,再爬到OB上任意一点F,然后爬回M点处,则小蚂蚁爬行的路径最短为　　　　.  知识点2　利用平移解决造桥选址问题 4.如图所示,在一条河的两岸有两个村庄,现要在河上建一座桥,桥的方向与河垂直,设河的宽度不变,试问:桥架在何处,才能使从A到B的距离最短? 5.如图所示,在P、Q两村之间有两条河,且两条河的宽度相同,从P村到Q村,要经过两座大桥EF、MN.现在要设计一条道路,并在两条河上分别架这两座垂直于河岸的大桥,问:如何设计这两座大桥EF、MN的位置,使由P村到Q村的路程最短?(要求在图上标出道路和大桥的位置) 能力提升全练 6.(2022黑龙江齐齐哈尔期末,10,★★☆)如图,在△ABC中,直线l垂直平分AB分别交CB、AB于点D、E,点F为直线l上任意一点,AC=3,CB=4,则△ACF周长的最小值是 (　　) A.4　　　B.6　　　C.7　　　D.10 7.(2018天津中考,11,★★☆)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点,则下列线段的长等于AP+EP最小值的是 (　　) A.AB　　　B.DE　　　C.BD　　　D.AF 8.(2021青海西宁中考改编,17,★★☆)如图,△ABC是等边三角形,N是AB的中点,AD是BC边上的中线,M是AD上的一个动点,连接BM,MN,当BM+MN的值最小时,∠MBN的度数是　　　　.  9.(2020青海西宁中考改编,18,★★☆)如图,在等腰△ABC中,AB=AC,点D在BC边上,连接AD,且CD=5,AD=13,直线EF是腰AC的垂直 平分线,若点M在EF上运动,则△CDM周长的最小值为　　　　.  10.【新考法】(2023福建福州模拟,15,)如图,在五边形ABCDE中,∠BAE=136°,∠B=∠E=90°,在BC,DE上分别找一点M,N,使得△AMN的周长最小,此时∠AMN+∠ANM的度数为　　　　.  素养探究全练 11.【运算能力】已知:M、N分别是∠AOB的边OA、OB上的定点. (1)如图1,若∠O=∠OMN,过M作射线MD∥OB,点C是射线MD上一动点,∠MNC的平分线NE交射线OA于E点,试探究∠MEN与∠MCN的数量关系; (2)如图2,若P是线段ON上一动点,Q是射线MA上一动点,∠AOB=20°,当MP+PQ+QN取得最小值时,求∠OPM+∠OQN的值. 图1 　图2 备用图 答案全解全析 基础过关全练 1.B　作A点关于直线l的对称点A',在直线l上任取一点P,连接AP,BP,A'P,A'B,由对称性可知,AP=A'P, ∴AP+BP=A'P+BP≥A'B, ∴当A'、P、B三点共线时,AP+BP的值最小,故选B. 2.A　如图,点A'是点A关于直线a的对称点,连接A'B,则A'B与直线a的交点即为点P,此时PA+PB最短,∵A'B与直线a交于点C,∴点P应选在C点.故选A. 3.答案　10 cm 解析　由题意可知当E为CD与OA的交点,F为CD与OB的交点时,小蚂蚁爬行的路径最短, ∵OA、OB分别是线段MC、MD的垂直平分线, ∴ME=CE,MF=DF, ∴小蚂蚁爬行的路径最短=CD=10 cm. 4.解析　如图,作BB'垂直于河岸GH,且BB'等于河宽, 连接AB',与河岸EF交于P,将PB'沿与河垂直的方向平移,得到DB,连接PD,则PD∥BB'且PD=BB'. 利用平移可知PB'=BD.根据“两点之间,线段最短”,可知路径A→P→D→B最短.故桥架在PD处符合题意. 5.解析　如图所示. (1)过点P作PA⊥l1,垂足为A,过点Q作QB⊥l3,垂足为B; (2)分别在PA和QB上截取PC=QD=河的宽度; (3)连接