考点13空间向量与立体几何（36种题型10个易错考点）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（新高考地区专用）

考点13空间向量与立体几何（36种题型10个易错考点） 一、 真题多维细目表 考题 考点 考向 2022新高考1，第4题 空间几何体的体积 求棱台的体积 2022新高考1，第9题 空间角与距离 异面直线所成角与线面角 2022新高考1，第19题 空间向量及其应用 求点到面的距离及二面角的正弦值 2022新高考2，第7题 空间几何体的机构特征与表面积 球的表面积 2022新高考1，第8题 空间几何体的体积 求四棱锥体积的范围 2021新高考1，第12题 空间向量及其应用 线面垂直的判定 2021新高考1，第20题 直线，平面垂直的判定与性质 线线垂直的性质，二面角的概念与应用，求三棱锥的体积 2021新高考2，第19题 空间角与距离 面面垂直的证明，二面角余弦值的求解 二、命题规律与备考策略 本章内容是高考必考内容之一，多考查空间几何体的表面积与体积，空间中有关平行与垂直的判定，空间角与距离的求解，空间向量的应用等问题。 高考对本章内容的考查比较稳定，针对这一特点，复习时，首先梳理本章重要定理、公式与常用结论，扫清基础知识和公式障碍；然后分题型重点复习，重视向量法求解空间角、距离问题的思路与解题过程 三、 2023真题抢先刷，考向提前知 一．棱柱、棱锥、棱台的体积（共4小题） 1．（2023•新高考Ⅱ）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 　 　． 2．（2023•新高考Ⅰ）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为 　 　． 3．（2023•天津）在三棱锥P﹣ABC中，线段PC上的点M满足PM＝PC，线段PB上的点N满足PN＝PB，则三棱锥P﹣AMN和三棱锥P﹣ABC的体积之比为（　　） A． B． C． D． （多选）4．（2023•新高考Ⅰ）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（　　） A．直径为0.99m的球体 B．所有棱长均为1.4m的四面体 C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体 D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体 二．二面角的平面角及求法（共6小题） 5．（2023•北京）如图，四面体P﹣ABC中，PA＝AB＝BC＝1，PC＝，PA⊥平面ABC． （Ⅰ）求证：BC⊥平面PAB； （Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的大小． 6．（2023•北京）刍曹是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某屋顶可视为五面体ABCDEF，四边形ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，△ADE和△BCF是全等的等腰三角形．若AB＝25m，BC＝AD＝10m，且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角的正切值均为．为这个模型的轮廓安装灯带（不计损耗），则所需灯带的长度为（　　） A．102m B．112m C．117m D．125m （多选）7．（2023•新高考Ⅱ）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P﹣AC﹣O为45°，则（　　） A．该圆锥的体积为π B．该圆锥的侧面积为4π C．AC＝2 D．△PAC的面积为 8．（2023•天津）在三棱台ABC﹣A1B1C1中，若A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝2，A1C1＝1，M，N分别为BC，AB中点． （Ⅰ）求证：A1N∥平面C1MA； （Ⅱ）求平面C1MA与平面ACC1A1所成角的余弦值； （Ⅲ）求点C到平面C1MA的距离． 9．（2023•新高考Ⅰ）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4．点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3． （1）证明：B2C2∥A2D2； （2）点P在棱BB1上，当二面角P﹣A2C2﹣D2为150°时，求B2P． 10．（2023•新高考Ⅱ）如图，三棱锥A﹣BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC中点． （1）证明BC⊥DA； （2）点F满足，求二面角D﹣AB﹣F的正弦值． 四、考点清单 1．特殊的四棱柱 2．球的截面的性质 (1)球的任何截面是圆面； (2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面； (3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r＝. 3．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形面积的关系如下： S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图． 4．正四面体的表面积