专题2.2 直线的交点坐标与距离公式-2023-2024学年高二数学知识•考点培优讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.2 直线的交点坐标与距离公式 知识点一 两条直线的交点坐标 1.两条直线相交：对于两条直线，若，则方程组有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标. 2.两条直线，联立方程组， 若方程组有无数组解，则重合． 知识点二 两点间的距离公式 设两点，则. 知识点三 点到直线的距离公式 点到直线的距离公式 设点，直线，则点到直线的距离 . 知识点四 两平行线间的距离公式 两平行线间的距离公式 设两条平行直线，则这两条平行线之间的距离 . 知识点五 对称问题 1.中点坐标公式 2．两条直线的垂直关系 (1) 对于两条直线，其斜率为，有. (2)对于两条直线，有. 考点01 两条直线的交点问题 【典例1】（2023·江苏·高二假期作业）直线与直线的交点坐标是（    ） A．(2,0) B．(2,1) C．(0,2) D．(1,2) 【典例2】（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）若直线与直线的交点在直线上，则实数（    ） A．4 B．2 C． D． 【典例3】（2023春·江西·高二江西省清江中学校考期末）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例4】（2022秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且． (1)求直线和的交点坐标； (2)已知直线经过与的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求的方程． 【总结提升】 1.两直线交点的求法 求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标． 2.求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程． 考点02 两点间的距离问题 【典例5】（2023春·新疆塔城·高二塔城市第三中学校考期末）已知两点，，则（    ） A．3 B．5 C．9 D．25 【典例6】（2023·江苏·高二假期作业）直线和直线分别过定点和，则| ． 考点03 点到直线的距离问题 【典例7】（2023春·云南曲靖·高一曲靖一中校考期末）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距与另一条直线在轴上的截距相同，则点到直线的距离为（   ） A． B． C．1 D． 【典例8】（2023·江苏·高二假期作业）倾斜角为，并且与原点的距离是5的直线方程为 ． 【典例9】（2021秋·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）期中）已知的顶点，AB边上的高所在直线为，D为AC中点，且BD所在直线的方程为． (1)求点B的坐标； (2)求的面积． 【典例10】（2022·高二课时练习）已知直线与. （1）若、两点分别在直线、上运动，求的中点到原点的最短距离； （2）若，直线过点，且被直线、截得的线段长为，求直线的方程. 【规律方法】 点到直线的距离的求法 可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． 考点04 两条平行直线之间的距离问题 【典例11】（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例12】（2023春·河南南阳·高二校联考阶段练习）若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（    ） A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或2 【典例13】（2023秋·高一单元测试）若两条平行直线与之间的距离是，则 ． 【典例14】（2023春·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考期中）直线关于直线对称的直线方程为 【规律方法】 两平行线间的距离的求法 ①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离． ②利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式)． 考点05 对称问题 【典例15】（2021秋·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）期中）已知直线：与关于直线对称，与平行，则（    ） A． B． C． D．2 【典例16】（2023春·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考期末）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【典例17】（2023秋·高二课时练习）直线关于点对称的直线方程为 ． 【典例18】（2022秋·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校考阶段练习）（1）求函数的最小值． （2）过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段恰好被点平分，求直线的方程． 【规律方法】 涉及对称问题，主要有以下几种情况：