11.2 与三角形有关的角（讲+练，七大题型）-【划重点】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（人教版）

11.2 与三角形有关的角 学习目标：1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°. 2.能运用三角形的内角和定理进行计算. 3.了解直角三角形两个锐角的关系. 4.掌握直角三角形的判定. 5.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算. 重点：1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°. 2.掌握直角三角形的性质和判定. 难点：1.能运用三角形的内角和定理进行计算. 2.运用直角三角形的性质和判定进行相关计算. 知识点一 三角形内角和定理 1.定理 (1)文字叙述：三角形三个内角的和等于180° (2)数学语言：在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°. 2.定理的实践探索的示意图 如图所示，把△ABC 的三个内角拼在一起，组成一个平角，即三个内角的和为180°。 1. 多种方法证明三角形内角和等于 180° 的核心是借助的平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上. 2. 三角形内角和定理的两点应用：(1)在三角形中，已知任意两个角的度数，可求出第三个角的度数；(2)已知三角形中三个内角的关系，可利用三角形内角和等于180°,列方程求出各内角的度数。 3.利用“平行线的性质”证明三角形的内角和定理的典例 证明思路 运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处，合并成一个平角 推 理 过 程 推理过程 方法1 过点 A 作l∥BC， 则∠B =∠1，∠C =∠2 (两直线平行，内错角相等). ∵∠1 +∠2 +∠BAC = 180°， ∴∠B +∠C +∠BAC = 180°. 方法2 延长BC到 D，过点 C 作 CE∥BA， 则∠A =∠1(两直线平行，内错角相等)， ∠B =∠2(两直线平行，同位角相等). 又∵∠1 +∠2 +∠ACB = 180°， ∴∠A +∠B +∠ACB = 180°. 方法3 过 D 作 DE∥AC，DF∥AB. ∴∠C = ∠EDB，∠B = ∠FDC (两直线平行，同位角相等)， ∠A +∠AED = 180°， ∠EDF +∠AED = 180° (两直线平行，同旁内角相补). ∴∠A = ∠EDF. ∵∠EDB +∠EDF +∠FDC = 180°， ∴∠C +∠A +∠B = 180°. 即学即练 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °， ∠B=75 °，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. 解：由∠BAC=40 °， AD是△ABC的角平分线， 得∠BAD=∠BAC=20 °. 在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°. 三角形的内角和常用二级结论： 由三角形的内角和定理 易得∠1 +∠2 =∠3 +∠4. 由三角形的内角和定理 易得∠A +∠B =∠C +∠D 知识点二 直角三角形的性质与判定 1. 直角三角形可以用符号“Rt△”表示 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC． 2. 直角三角形的性质与判定 如图所示，在Rt△ABC中，直角所对的边AB叫做斜边，夹直角的 两条边AC 和BC 叫做直角边. (1) 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余. 应用格式： 在 Rt△ABC 中， ∵∠C = 90°， ∴∠A +∠B = 90°． (2)直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 应用格式： 在△ABC 中， ∵∠A +∠B = 90°， ∴△ABC 是直角三角形． (1) 直角三角形用符号 “Rt△” 表示时，后面必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大 写字母，不能单独使用. (2)可直接利用直角三角形两个锐角互余的性质求一个锐角的度数，但必须指明在直角三角 形中 . 即学即练1 （1）如图①，∠B =∠C = 90°，AD 交BC 于点 O，∠A 与∠D 有什么关系？ 解法一 (利用平行线的判定和性质)： ∵∠B = ∠C = 90°， ∴ AB∥CD. ∴∠A = ∠D. 解法二 (利用直角三角形和对顶角的性质)： ∵∠B = ∠C = 90°， ∴∠A +∠AOB = 90°，∠D +∠COD = 90°. ∵∠AOB = ∠COD，∴∠A = ∠D. （2）如图②，∠B =∠D = 90°，AD 交 BC 于点 O，∠A 与∠C 有什么关系？请说明理由. 解：∠A = ∠C. 理由如下： ∵∠B = ∠D = 90°， ∴∠A +∠AOB = 90°，∠C +∠COD = 90°. ∵∠AOB = ∠COD， ∴∠A = ∠C. 直角三角形常用二级结论：