11.1.2&11.1.3 三角形的高、中线与角平分线及稳定性（讲+练，九大题型）-【划重点】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（人教版）

11.1.2&11.1.3 三角形的高、中线与角平分线及稳定性 学习目标： 1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.（重点） 2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法. 3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点） 重点：掌握三角形的高，中线及角平分线的概念. 难点：钝角三角形的两短边上高的画法. 知识点一 三角形的高 1.三角形的高的概念 从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 2.三角形的高的几何语言表达形式 如图所示，AD 是△ ABC 的边 BC 上的高，或AD 是△ ABC 的高，或AD⊥BC于点D，或∠BDA=∠CDA=90°. 【注意】三角形的高与垂线的区别：三角形的高是一条垂线段，垂线是一条直线。 3.三角形三条高的位置 三角形 高及高的交点的位置 图示 锐角三角形 三条高都在三角形的内部，三条高的交点在三角形的内部 直角三角形 直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条高在三角形内部，三条高的交点是直角顶点 钝角三角形 钝角三角形有两条高落在三角形的外部，另一条高在三角形内部，三条高没有交点，但三条高所在的直线交于三角形外一点 1.作三角形高的步骤 作三角形的高的步骤就是“过直线外一点作该直线的垂线段”的步骤： 一靠：三角尺的一条直角边靠 在要作高的边上； 二移：移动三角尺使另一条直 角边通过要作高的顶点， 三画：画垂线段. 2.三角形的三条高的特性 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 高在三角形内部的数量 3 1 1 高之间是否相交 相交 相交 不相交 高所在的直线是否相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 即学即练 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值. 解：根据垂线段最短，可知当BP⊥AC时，BP有最小值． 由△ABC的面积公式可知，AD·BC＝BP·AC. 代入数值，可解得BP＝. 面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积（但不求出面积），利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解. 知识点二 三角形的中线 1.三角形的中线的概念 在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线。C A B D 2.三角形中线的几何语言表达形式 如图，AD是△ABC的边 BC 上的中线，或AD是△ABC 的中线。 3.三角形中线的数量和位置 任何三角形都有三条中线，三条中线都在三角形内部，并且三条中线 相交于一点，这点在三角形的内部. 4.三角形的重心C A B D E 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 5.三角形的中线分成的两个三角形的面积及周长的关系 (1)面积关系：如图所示，AD是△ABC 的中线，AE是△ ABC的高， 则 ， 因为BD=CD,所以=， 所以=. （等面积法是几何推理常用方法！） (2)周长关系：因为△ABD的周长=AB+BD+AD, △ACD 的周长= AC+CD+AD, 所以△ABD 的周长- △ACD 的周长=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC.（等式的性质在几何推理中也是常用方法！） （1）三角形的中线可将三角形分成面识相等的两部分; （2）△ABD和△ ACD的周长之差实质上就是AB与AC的长度之差. 即学即练1 如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值. 解：∵点D是AC的中点，∴AD＝AC. ∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝S△ABC＝×12＝6. ∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝S△ABC＝×12＝4. ∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF， ∴S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2. 即学即练2 如图所示，在△ABC中 ，AB=2024,AC=2021,AD为△ABC的中线，则△ABD 的周长与△ACD的周长之差是________。 答案：3 知识点三 三角形的角平分线 1.三角形的角平分线的概念 在三角形中，一个内角的平分线和它所对的C A B D 边相交于一点，这个角的顶点与交点之间的 线段叫做三角形的角平分线. 2.三角形的角平分线的几何语言表达形式 如图所示，AD是△ABC的角平分线，或∠BAD=∠CAD=∠BAC且点