11.1.1 三角形的边（讲+练，六大题型）-【划重点】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（人教版）

11.1.1 三角形的边 学习目标：1．认识三角形的边、内角、顶点，能用几何语言表示三角形； 2．掌握三角形的三边关系定理，能利用定理及其推论进行简单的证明； 3．了解三角形分类的原则和结论． 重点：理解三角形三边之间的不等关系． 难点：运用三角形三边之间的不等关系解题． 知识点一 三角形的有关概念 1. 三角形的概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2. 有关概念 （1）边:组成三角形的线段叫做三角形的边.如图，线段AB，BC，AC是三角形ABC的三条边.三角形ABC的三条边有时也用a，b，c表示. 图 1 （2）顶点:相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.如图1，点A，B，C是三角形ABC的三个顶点. （3）角:相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.如图1，∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三个角. 如图1，∠A，∠B，∠C所对的边分别是BC，AC，AB;反过来，三条边AB，BC，AC所对的角分别是∠C，∠A，∠B. 3. 三角形的表示 三角形用符号“△”表示，如图1，以A，B，C为顶点的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”. 1.用 a,b,c表示△ABC 的三边时，顶点A 所时的边一般用a表示，顶点B 所对的边一般用b 表示，顶点C 所时的边一般用c表示. 2.三角形三个顶点的字母的次序可任意调整，△ABC 也可写或 “△BAC”“△ BCA”"△CAB"等. 3.用 a,b,c表示△ABC 的三边时，顶点A 所时的边一般用a表示，顶点B 所对的边一般用b 表示，顶点C 所时的边一般用c表示. 即学即练 如图所示. (1)图中有几个三角形?把它们一一写出来， (2)写出△ABD 的三个内角. (3)含∠C 的三角形有哪些? (4)含AB边的三角形有哪些? 解：(1)图中有7个三角形，即△ABD,△ABE, △ABC,△ADE,△ADC,△AEC,△AFG. (2)△ABD 的三个内角是∠ABD, ∠BDA, ∠BAD. (3)含∠C 的三角形有△AEC,△ADC,△ABC. (4)含AB边的三角形有△ABD,△ABE,△ABC. 数三角形个数的方法 (1)按图形形成的过程(三角形形成的先后顺序)去数. (2)可从图中的某一条线段开始沿着一定方向去数.如：在图 11-1-2中，以AC 为边的三角形有 △ACE,△ACD,△ACB. (3)先固定一个顶点，变换另两 个顶点去数，如：在图11-1-2中，固定A点，变换另两点即可. 知识点二 三角形的分类 1.等腰三角形 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角. 2.等边三角形 三边都相等的三角形叫做等边三角形，即底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形。 【注 意】等边三角形是特殊的等腰三角形. 3.三角形的分类 (1)按边的相等关系分类： (2) 按内角的大小分类： (1)在一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角. (2)在一个三角形中，最多有一个直角，最多有一个钝角， (3)三角形的两种分类方法是各自独立的，同一个三角形可能同时属于两个不同的类别.如等腰直角三角形按边分类属于等腰三角形，而按角分类则属于直角三角形. 即学即练 根据下列所给条件，判断△ABC 的形状(若已知的是角，则按角的分类标准去判断；若已知的是边，则按边的分类标准去判断). (1) ∠A=45°, ∠B=65°, ∠C=70°; (2) ∠C=120°; (3) ∠C=90°; (4)AB=BC=4,AC=5. 解：(1)因为∠A=45°,∠B=65°,∠C=70°, 所以∠A<∠B<∠C<90°, 所以△ABC 是锐角三角形. (2)因为∠C=120°>90°, 所以△ABC 是钝角三角形. (3)因为∠C=90°, 所以△ ABC 是直角三角形. (4)因为AB=BC=4,AC=5,所以△ABC 是等腰三角形. 判断三角形形状的方法 首先确定其分类标准，是按角分类还是按边分类， 若按角分类，则看这个三角形的最大角是哪一类角，最大角是哪一类角，则这个三角形就是哪一类三角形. 若按边分类，则看是否有等边，有等边，则这个三角形就是等腰三角形. 知识点三 三角形的三边关系 1. 三角形的三边关系 三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边. 【注意】这里说的两边，是指任意的两边。三角形的三边关系反映了任意三角形边的限制关系，一般会与不等式联系起来考虑。 图形 文字语言 符号语言 理论依据 三角形两边的和大于第三边 a+b>c,b+c>a, a+c>b 两点