专题3.21 整式及其加减（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题3.21 整式及其加减（全章知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】整式的相关概念 1．单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 特别说明： （1）单项式的系数是指单项式中的数字因数． （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． 特别说明： （1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项． （2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数． （3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式． 3. 多项式的降幂与升幂排列： 　　把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列． 特别说明： （1）利用加法交换律重新排列时，各项应连同它的符号一起移动位置； （2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列． 4． 整式：单项式和多项式统称为整式． 【知识点2】要点二、整式的加减 1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项． 特别说明：辨别同类项要把准“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 特别说明：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变． 3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项． 【考点一】整式及相关概念 ①单项式及其系数和次数 【例1】找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数． ，，，，，，，． 【分析】由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个字母或一个数也是单项式，所有字母次数的和是单项式的次数． 解：以上代数式是单项式的有：，，，，，． 的系数为，次数为3； 的系数为，次数为1； ，系数为，次数为7； ，系数为，次数为6； 2，系数为2，次数为0； ，系数，次数为1． 【点拨】本题主要考查单项式的相关概念，属于基础题目． 【举一反三】 【变式1】的系数与次数分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单项式系数、次数的定义求解即可． 解：单项式的系数与次数分别为， 故选：A． 【点拨】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的系数、次数的定义是解题的关键． 【变式2】观察下列单项式特点：，，，，…，第n个单项式为 （n为正整数）． 【答案】 【分析】根据已知的4个单项式找出规律即可求解． 解：当n是奇数时，第n个单项式是正数，n是偶数时，则第n个单项式是负数． 当时，系数的绝对值为，x的次数为2，a的次数为2； 当时，系数的绝对值为，x的次数2，a的次数为3； 当时，系数的绝对值为，x次数为2，a的次数为4 …以此类推，则可以判断当第n个单项式时，其表达式为． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查学生结合整式知识点探究归纳规律，解题的关键是根据已知的单项式，总结出一般规律． ②多项式的项和次数 【例2】已知是六次四项式，且的次数与它相同． (1)求、的值； (2)请写出多项式的各项，并求出各项的系数和． 【答案】(1)， (2)多项式的各项为：，，，；各项的系数和为 【分析】（1）用多项式的次数，单项式的次数分别列方程求解即可； （2）由（1）得到的值，代入计算得到该多项式的各项及各项系数，再把系数求和即可． 解：是六次四项式， ， 解得， 的次数也是六次， ， ， ，； （2）解：该多项式为， 多项式的各项为：，，，， 各项的系数和为：． 【点拨】本题考查了多项式的次数和系数的概念，单项式的次数的概念，一元一次方程的应用，理解基础概念是解题关键． 【举一反三】 【变式1】若关于，的多项式与的差不含三次项，则数的值为（　　） A． B． C． D．9 【答案】D 【分析】计算两个多项式的差并合并同类项，根据两个多项式的差不含三次项可得，即可求解出的值． 解： ∵这两个多项式的差不含三次项 ∴ 解得 故答案为：D． 【点拨】本题考查了多项式的加减运算，掌握多项式的性质以及加减运