专题05 数轴与动点经典题型（四大题型）-2023-2024学年七年级数学上册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题05 数轴与动点经典题型（四大题型） 重难点题型归纳 【题型1 最值问题】 【题型2 线段的和倍差问题】 【题型3 数轴与行程相遇综合问题】 【题型4 数轴上新定义问题】 满分必练 【题型1 最值问题】 【典例1】[问题提出]|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+…+|a+2021|的最小值是多少？ [阅读理解] 为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手，|a|的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么|a﹣1|可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；|a﹣1|+|a﹣2|就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究|a﹣1|+|a﹣2|的最小值． 我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离 之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，|a﹣1|+|a﹣2|有最小值1． [问题解决] （1）请你结合数轴探究：|a﹣4|+|a﹣7|的最小值是 　　． （2）请你结合图④探究|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的最小值是 　　． （3）|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+|a﹣4|+|a﹣5|的最小值为 　　． （4）|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+…+|a﹣2021|的最小值为 　　． [拓展应用]已知（|a+1|+|a﹣2|）×（|b﹣2|+|b+1|）×（|c﹣3|+|c+1|）＝36，则a+2b+3c的最大值为 　15　，a+2b+3c的最小值为 　　． 【变式1-1】我们知道，在数轴上，|a|表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示x和﹣1的两点A、B之间的距离是 　　． （2）代数式|x+1|+|x+3|的最小值是 　　． （3）代数式|x﹣1|+|x|+|x+2|+|x﹣4|的最小值为 　　，此时符合条件的整数x为 　 　． （4）代数式|x﹣1|﹣|x﹣3|的最小值为 　 　，最大值为 　 　． 【变式1-2】阅读：数轴揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道|2|＝|2﹣0|，它在数轴上的意义是表示数2的点与原点（即表示0的点）之间的距离，|5﹣2|也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看做|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．一般地，点A、点B在数轴上分别表示有理数a、b，那么点A、点B之间的距离可表示为|a﹣b|．结合数轴与绝对值的知识解决下列问题： （1）数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是 　　；数轴上表示x和﹣5的两点之间的距离是 　　 ； （2）若|x﹣1|+|x+3|＝6，则x＝　 　； （3）求|x﹣1|﹣|x﹣2|的最大值． 【变式1-3】阅读下列材料． 我们知道|x|＝，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1和x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：x＜﹣1；﹣1≤x＜2；x≥2．从而在化简|x+1|+|x﹣2|时，可分以下三种情况：①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝（x+1）+（x﹣2）＝2x﹣1． ∴|x+1|+|x﹣2|＝，通过以上阅读，解决问题： （1）|x﹣3|的零点值是x＝　 　（直接填空）； （2）化简|x﹣3|+|x+4|； （3）直接写出|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值． 【变式1-4】如图，在数轴A、B上两点对应的数分别为﹣40、20，数轴上一点P对应的数为x． （1）若点P在A、B两点之间，则点P到A、B两点的距离的和为 　 ． （2）如图，数轴上一点Q在点P的右侧，且与点P始终保持相距18个单位长度．当x取何值时，点A与点P的距离、点B与点Q的距离的和为48？ （3）结合对前面问题的思考，若（|x+4|+|x﹣2|）•（|y|