专题08 角平分线和垂直平分线经典应用（五大类型）-2023-2024学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（浙教版）

专题08 角平分线和垂直平分线经典应用（五大类型） 重难点题型归纳 【题型一；利用角平分线的性质求面积】 【题型二：角平分线+垂直构造全等模型】 【题型三：利用垂直平分线的性质求角度】 【题型四：利用垂直平分线的性质求线段长度】 【题型五：利用尺规作图综合应用】 【题型一；利用角平分线的性质求面积】 【典例1】（2023春•莲湖区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AD是△ABC的一条角平分线．若CD＝2.5，求△ABD的面积． 【变式1-1】（2022春•岳麓区校级期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝12，BC＝8． （1）求△CBD与△ABD的面积之比； （2）若△ABC的面积为50，求DE的长． 【变式1-2】（2022秋•金安区校级期末）如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B＝50°，∠C＝62°，DE⊥AC． （1）求∠ADE的度数． （2）若DE＝5，求点D到AB的距离． 【题型二：角平分线+垂直构造全等模型】 【方法技巧】 角平分线＋垂直构造全等模型：秘籍：往角两边作垂线 解读：用角平分线上的点往角两边作垂线，这是常用的辅助线，可以利用边角边构造全等 【典例2】（2022秋•聊城期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证： （1）AM⊥DM； （2）M为BC的中点． 【变式2-1】（2022秋•文峰区月考）如图，已知F、G是OA上两点，M、N是OB上两点，且FG＝MN，S△PFG＝S△PMN，试问：点P是否在∠AOB的平分线上？ 【变式2-2】（2021秋•汉滨区期末）如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由． 【变式2-3】（2021春•济宁期末）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，求证：AD＝CD+AB． 【变式2-4】（2022秋•如皋市期中）如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC＝PD． 【题型三：利用垂直平分线的性质求角度】 【方法技巧】 垂直平分线的性质： 垂直平分线上的点到两边的距离相等 【典例3】（2022春•龙凤区校级期末）如图，△ABC中，∠BAC＝105°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足． （1）求∠DAF的度数； （2）如果BC＝8，求△DAF的周长． 【变式3-1】（2022春•蓝田县期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，连接BD．若∠A＝100°，∠ABD＝22°，求∠C的度数． 【变式3-2】（2022秋•南开区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，DG、EF分别垂直平分AB，AC，垂足分别为G，F，求∠DAE的度数． 【变式3-3】（2022秋•垣曲县期末）如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E． （1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？ （2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数． 【题型四：利用垂直平分线的性质求线段长度】 【典例4】（2022秋•如东县期末）如图，在△ABC中，BC＝8，∠B＝2∠C，点D为边AC的垂直平分线与边BC的交点，且BD＝AB﹣2． （1）求证AB＝AD； （2）求CD长． 【变式4-1】（2023春•惠东县校级期中）如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝10，AB的垂直平分线交BC于点D，点E是垂足，求△ACD的周长． 【变式4-2】（2022春•凤翔县期末）如图，△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长． 【变式4-3】（2022秋•邗江区期中）如图，在△ABC中，BC＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D、交AC于点E，△BCE的周长等于22cm． （1）证明：BE+EC＝AC； （2）求AC的长． 【变式4-4】（2022秋•长春期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE是AB的垂直平分线，交BC于点E． 已知△ABC的周长是24，AD的长是5．求△AEC的周长． 【变式4-5】（2022秋•周至县期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线MN分别交AB，AC于D，E．若AE＝5，△BCD的周长为17，求△ABC的周长． 【题型五：利用尺规作图综合应用】 【方法技巧】 垂直平分线作图步