第05讲 数列求和（九大题型）（课件）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

第05讲 数列求和 高考一轮复习讲练测 2024 01 02 03 04 目录 CONTENTS 考情分析 网络构建 知识梳理 题型归纳 真题感悟 01 PART ONE 考情分析 稿定PPT 稿定PPT，海量素材持续更新，上千款模板选择总有一款适合你 02 考点要求 考题统计 考情分析 （1）熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式． （2）掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法． 2023年甲卷（理）第17题，12分 2023年II卷第18题，12分 2023年I卷第20题，12分 高考对数列求和的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．数列的求和主要考查等差、等比数列的前n项和公式及非等差、等比数列的求和方法，其综合性较强．数列求和问题以解答题的形式为主，偶尔出现在选择填空题当中，常结合函数、不等式综合考查． 02 PART ONE 网络构建 03 PART ONE 知识梳理 题型归纳 数列求和的几种常用方法 1.公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和. (1)等差数列的前n项和公式： Sn＝ ＝ . (2)等比数列的前n项和公式： Sn＝_________________________ 2.分组求和法与并项求和法 (1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. (2)形如an＝(－1)n·f(n)类型，常采用两项合并求解. 3.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. 4.裂项相消法 (1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. (2)常见的裂项技巧 【例1】（2023·全国·高三专题练习）求和． 【解析】∵ ， ∴． 题型一：通项分析法 【对点训练1】求数列1，，，，，的前项之和． 【解析】由于， 所以前项之和 ． 题型一：通项分析法 【对点训练2】（2023·全国·高三专题练习）数列的前n项和为 ． 【答案】 【解析】观察数列得到 ， 所以前n项和 ． 故答案为：． 【解题方法总结】 先分析数列通项的特点，再选择合适的方法求和是求数列的前项和问题应该强化的意识． 题型一：通项分析法 【例2】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知是数列的前项和，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【解析】（1）由，则， 两式相减得：， 整理得：， 即时，， 所以时， ， 又时，，得，也满足上式． 故． （2）由（1）可知：． 记，设数列的前项和． 当时，； 当时， 综上： 题型二：公式法 【对点训练3】（2023·宁夏银川·高三银川一中阶段练习）已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列 （1）求通项公式 （2）设，求数列的前项和 【解析】（1）设等差数列的公差为， 则， 即， 又成等比数列，所以， 即， 整理得，得或， 若，则，， 若，则，得，，． 综上所述：或． （2）若，则，； 若，则，． 【解题方法总结】 针对数列的结构特征，确定数列的类型，符合等差或等比数列时，直接利用等差、等比数列相应公式求解． 题型二：公式法 【例3】（2023·广东茂名·高三茂名市第一中学校考阶段练习）已知数列满足且 （1）若存在一个实数，使得数列为等差数列，请求出的值； （2）在（1）的条件下，求出数列的前n项和． 【解析】（1）假设存在实数符合题意，则必为与无关的常数． 因为． 要使是与无关的常数， 则，可得． 故存在实数，使得数列为等差数列． （2）由，且， 由（1）知等差数列的公差， 所以，即， 所以 记：， 有， 两式相减，得， 故． 题型三：错位相减法 【对点训练4】（2023·四川绵阳·高三盐亭中学校考阶段练习）设数列 ​的前​项和为​，且​； 数列​为等差数列，且​． （1）求数列 ​的通项公式． （2）若 ​，求数列​的前​项和​． 【解析】（1）当时，，得． 当时，两式相减有 即． 因为，所以数列是以为首项，公比为的等比数列． 则． 所以数列的通项公式为． （2）在等差数列中，设首项为公差为， 则解得 所以． 则 ① ② 所以①②得 即 解得 【解题方法总结】 错位相减法求数列的前n项和适用条件：若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． 题型三：错位相减法 【例4】（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）已知数列和满足：，，，，其中． （1）求证：； （2）求