2023年第二十届中国东南地区数学奥林匹克高二年级组第一天试题

第二十届中国东南地区数学奥林匹克 浙江·温州 yuying 高二年级第一天 2023年7月30日上午8：00-12：00 1.设a,b为正实数，证明： (a3+b3+a26)(信+后+)+2726(a+b+日++会+》 2.对非空有限复数集合A,定义A的“陶模”为∑zEA2孔.给定整数n之3，设集合 Un={cos+isin资k=0,1,n-1小.记an为，的陶模为0的非空子集的 个数，bn为Um的陶模为1的非空子集的个数.比较nan和2bn的大小. 3.如图，在△ABC中，∠BAC平分线上的点D满足∠DBA=∠ADC,点E,F在过A且 垂直于AD的直线上，满足AF=FC,AE=EB.设△EAC,△FAB的外接圆交于两点 A,K,记A关于BC的对称点为A'.证明：若AD=BC,则△AKA'的外心在直线AD上 E 4.求最大的实数c,使得对任意大于1的正整数s,以及与s互素的正整数m,n, -骨将6-得》a 总成立.({x表示x的小数部分)第二十届中国东南地区数学奥林匹克 浙江·温州 高二年级 第一天 2023年 7 月 30日 上午 8:00-12:00 1.已知正数列{𝑎𝑛}满足：𝑎1 = 1，𝑎𝑛 = 2 + √𝑎𝑛−1 − 2√1 + √𝑎𝑛−1，𝑆𝑛为数列 {2𝑛𝑎𝑛}的前𝑛项和，求𝑆2023. 解：因 0na  ， 2 1 1 12 2 1 1 1n n n na a a a− − −= + − + = + −（ ）， 令 1n nb a= + ，则 1n nb b −= ， 122 n nb − + = ，于是 2022 2023 2023 2023 2023 2 2 2023 1 1 1 1 2 2023 1 2024 2024 2 1 1 2023 2 2 2 ( 1) 2 ( 2 1) 2 2 ( 2 1) =2 [2 ( 1) 2 ( 1)] 2 4( 1) 2 ( 1) 6 2 (2 1) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n S a b b b b b b b b b − − = = = = + − = = = − = − + = + − + + − − − = + − − − = − −      2.对非空有限复数集合𝐴，定义𝐴的“陶模”为|∑ 𝑧𝑧∈𝐴 |. 给定整数𝑛 ≥ 3，设集合 𝑈𝑛 = {cos 2𝑘𝜋 𝑛 + i sin 2𝑘𝜋 𝑛 |𝑘 = 0,1, … , 𝑛 − 1}. 记𝑎𝑛为𝑈𝑛的陶模为0的非空子集的 个数，𝑏𝑛为𝑈𝑛的陶模为1的非空子集的个数. 比较𝑛𝑎𝑛和2𝑏𝑛的大小. 解：对于 1，2，…, n，将Un的陶模为 0的 j元子集的全体记为Ωj, U𝑛的陶模为 1的 j元子集的全体记为Γj. 显然|Ω1| = |Ωn−1| = 0, |Ωn| = 1, |Γn| = 0，则 an = |Ω2|+|Ω3| + ⋯ + |Ωn−2| + 1， ① 𝑏n = |Γ1| + |Γ2| + ⋯ + |Γn−1|. ② 下面证明 n|Ωj| ≤ |Γj−1| + |Γj+1|(𝑗 = 2,3, … , 𝑛 − 2). ③ 记wk = cos ( 2𝑘𝜋 𝑛 ) + 𝑖 sin ( 2𝑘𝜋 𝑛 ) (𝑘 = 0,1, … , 𝑛 − 1). 对Ωj中的每个集合 S，令 S对应Γj−1 ∪ Γj+1中的 n个两两不同的集合 Tk = 𝑆\{𝑤𝑘}, 若wk ∈ 𝑆; Tk = 𝑆 ∪ {𝑤𝑘}, 若wk ∉ 𝑆(𝑘 = 0,1, . . , 𝑛 − 1). 不同的 S 对应的集合没有重复的. 事实上，若Γj−1 ∪ Γj+1中的一个集合 T 是按上 述方式被Ωj中的集合所对应, 则当|T| = j − 1时，可唯一确定对应于 T 的集合为 S = T ∪ {−Σz∈T z} , 当 |T| = j + 1时，可唯一确定对应于 T 的集合为 𝑆 = 𝑇\{Σz∈T z}. 从而当 S取遍Ωj中的所有集合时，可对应到Γj−1 ∪ Γj+1中的n|Ωj|个两 两不同的集合，从而③成立. 因此，结合①，②，并注意到|Γ1| = |Γn−1| = 𝑛，可知 nan = ∑ n|Ωj| + 𝑛 < ∑(|Γj−1| + |Γj+1|) + |Γ1| + |Γn−1| 𝑛−2 𝑗=2 ≤ 𝑛−2 𝑗=2 2𝑏𝑛， 即nan < 2bn. 3.如图所示，在 ABC 中，∠BAC 的角平分线