第1讲 函数与导数(恒成立与复合函数零点问题)讲义-2024届高三数学一轮复习

第1讲 函数与导数 ——恒成立与复合函数零点问题 【引言】在新高考创新试题层出不穷的大环境下,掌握基本的知识方法和解题策略是重重之重,它是对新题、难题的突破的基石！在掌握双基的前提下,淡化特殊技巧、重视思想方法、去模式化的解题策略，以不变应万变，去培养大家分析问题、解决问题的能力！只有大家学会自我分析,利用熟知的知识方法去解决各类未知的创新试题,才算成功培养自己的解题思维！ 【含参不等式恒成立问题】 1．已知不等式对恒成立，则实数m的最小值为__________. 【分析】先将不等式变形为， 再构造函数，利用函数单调性可得，，再分离参数转化为 ，然后求出函数的最大值，即解出． 【详解】可变为， 再变形可得，，设，原不等式等价于 ，因为，所以函数在上单调递减，在 上单调递增，而，， 当时，，所以由可得，， 因为，所以． 设，，所以函数在上递增，在上递减，所以，即． 当时，不等式在恒成立； 当时，，无论是否存在，使得在上恒成立，都可判断实数m的最小值为．故答案为：． 2．已知，不等式对任意的实数都成立，则实数的最小值为（ ） A． B． C． D． 【分析】首先不等式变形为，，不等式等价于，然后利用函数的单调性可得对任意恒成立，再利用参变分离恒成立，转化为求函数的最小值. 【详解】不等式变形为 ，即，设， 则不等式对任意的实数恒成立，等价于对任意恒成立，，则在上单调递增， ，即对任意恒成立，恒成立，即， 令 ，则 ，当时，，在上单调递减，当时， ，在上单调递增，时，取得最小值 ， ，即，的最小值是.故选：B 【点睛】本题考查函数，导数，不等式恒成立的综合问题，意在考查转化与化归的思想，计算能力，本题的关键和难点是不等式的变形，并能构造函数并转化为对任意恒成立,属于难题. 3．已知定义在上的函数满足，，若对任意正数，都有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据基本等式求出最小值，不等式转化为解不等式，构造函数，由条件可得，转化为与相关的函数，通过求导可得，即在是减函数，即可解不等式. 【详解】B， 当且仅当时，等号成立.所求不等式转化为，设，得， 设， 令，当时，，当时，时取得极大值，即为最大值为， 在是减函数，等价. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键是构造函数，利用导数研究函数的单调性，属于难题. 4．已知关于的不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围为_________． 【分析】先将不等式对于任意恒成立,转化为任意恒成立，设，求出在内的最小值,即可求出的取值范围. 【解析】由题可知，不等式对于任意恒成立， 即， 又因为，，对任意恒成立， 设，其中，由不等式，可得：，则， 当时等号成立，又因为在内有解， ，则，即：，所以实数的取值范围：.故答案为：. 【点评】本题考查不等式恒成立问题，利用分离参数法和构造函数，通过求新函数的最值求出参数范围，考查转化思想和计算能力. 5．设函数，若对任意恒成立，则实数a的取值范围为________. 【答案】 【解析】【分析】 把不等式用分离参数法转化为求函数的最值． 【详解】 由题意不等式为， 即对任意恒成立， 令，由得，则， 函数在上是增函数．∴，从而， ∴对任意恒成立， 令， ， 设， ， ∴时，，在上是增函数，∴时，，∴， ∴在时，是增函数，， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查不等式恒成立问题，解题方法是利用分离参数法转化为求函数的最值．因此本题又考查了用导数研究函数的单调性，求函数最值．本题对学生的运算求解能力，分析问题解决问题的能力要求较高，属于困难题． 6．已知不等式ex﹣x﹣1＞m[x﹣ln（x+1）]对一切正数x都成立，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，e] 【答案】C 【解析】 【分析】 设，求出函数的导数，通过讨论的取值范围，结合函数的单调性判断. 【详解】 由题意可知，当时，恒成立， 设， 则，， ①当时，恒成立，单调递增， ，时，，单调递增， 又，时，，符合题意， ②时，，恒成立，单调递增， ， （ⅰ）当，即时，与①同理，符合题意； （ⅱ）当，即时，， 当时，，且连续， 由零点存在性定理可知，存在，使得 时，，递减， 又，时，，递减， ，时，，不合题意， 综上，的范围是. 故选：C 【点睛】 本题考查函数导数的应用的综合问题，重点考查讨论的思想，转化能力，属于难题. 7．若关于的不等式在上恒成立，则的最大值为__________． 【分析】分类讨论，时不合题意；时求导，求出函数的单调区间，得到在上的最小值，利用不等式恒成立转化为函数最小值，化简得，构造放缩函数对自变量再研究，可解, 【解析】令；当时，，不合题意； 当时，，令，得或， 所以在区