专题2.1 直线方程-2023-2024学年高二数学知识•考点培优讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.1直线方程 知识点一 直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 ①定义．当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. ②范围：倾斜角的范围为． 2．直线的斜率 ①定义．一条直线的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线与x轴平行或重合时, , . ②过两点的直线的斜率公式．经过两点的直线的斜率公式为. 3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在． 4.直线的倾斜角、斜率k之间的大小变化关系： （1）当时，越大，斜率越大； （2）当时，越大，斜率越大. 知识点二 直线的方程 1.直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为，则直线的方程为： .这个方程就叫做直线点斜式方程. 特别地，直线过点，则直线的方程为：.这个方程叫做直线 的斜截式方程. 2.直线的两点式方程 直线过两点其中，则直线的方程为： .这个方程叫做直线的两点式方程. 当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：. 特别地，若直线过两点，则直线的方程为： ，这个方程叫做直线的截距式方程. 3.直线的一般式方程 关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程. 由一般式方程可得，B不为0时，斜率，截距. 知识点三 两条直线平行与垂直 1．两直线的平行关系 (1) 对于两条不重合的直线，其斜率为，有. (2)对于两条直线，有 . 2．两条直线的垂直关系 (1) 对于两条直线，其斜率为，有. (2)对于两条直线，有. 考点01 直线的倾斜角与斜率 【典例1】（2023春·陕西汉中·高二校联考期末）已知直线经过，两点，则直线的斜率为（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】直接代入直线斜率公式即可. 【详解】因为直线经过，两点， 所以直线的斜率为， 故选：D． 【典例2】（2022秋·福建宁德·高二统考期中）已知直线过，两点，且倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率公式直接列方程求解即可. 【详解】因为直线过，两点，且倾斜角为， 所以，解得， 故选：C. 【典例3】（2023春·河南南阳·高二统考期末）直线，，的斜率分别为2，1，，倾斜角分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于，由正切函数的图像性质可得倾斜角，，的大小关系. 【详解】由于， 由正切函数的图像性质可知，当时，为增函数，且， 由，可知； 当时，为增函数，且， ，所以； 所以，选项B正确. 故选：B 【典例4】（2022秋·广西百色·高二统考期末）已知直线过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】在坐标系中标出这三个点，然后根据直线和线段有公共点的临界情况分析. 【详解】在同一坐标系下标出这三个点，连接，如图当直线恰好经过时为临界情况， 又，当直线从位置顺时针转动到位置时， 由倾斜角和斜率的关系可知，. 故答案为：    【总结提升】 1.求直线的斜率与倾斜角.若已知两点的坐标，则直接利用斜率公式求斜率；若条件中给出一条直线，则求出直线上的两点的坐标，然后利用斜率公式求斜率.求直线的倾斜角，则先求出直线的斜率，再利用求倾斜角. 2. 求直线的斜率与倾斜角的范围.若斜率k是含参数的一个式子，则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围，则采用数开结合的方法求其范围． 考点02 求直线的方程 【典例5】【多选题】（2022秋·福建·高二校联考期中）下列说法正确的有（    ）． A．直线过定点 B．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 C．斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为 D．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为 【答案】AB 【分析】求出直线过的定点判断A；写出直线的点斜式方程判断B；求出直线斜截式方程判断C；求出直线方程判断D作答. 【详解】对于A，直线恒过定点，A正确； 对于B，过点且斜率为的直线的点斜式方程为，B正确； 对于C，斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为，C错误； 对于D，经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线过原点时，方程为， 当该直线不过原点时，方程为，D错误. 故选：AB 【典例6】（2023·江苏·高二假期作业）直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距小1，且过定点，则直线l的方程为 . 【答案】或. 【分析】设直线方程的截距式为，将代入解方程即可得求出的值，进而求出直线l的方程. 【详解】设直线方程的截距式为. 则，解得或，