专题3.9 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题大题专项训练【九大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题3.9 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题大题专项训练 【九大题型】 【人教A版（2019）】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 椭圆中的定点问题 1．（2023春·宁夏石嘴山·高二校考期末）已知椭圆C：的离心率是，点在C上． (1)求C的方程； (2)直线l:交C于P，Q两点（不同于点A），直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，线段MN的中点为，证明：直线l过定点，并求出定点坐标． 2．（2023春·贵州安顺·高二统考期末）已知椭圆：的右顶点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为． (1)求的方程 (2)椭圆的左顶点为，点为坐标原点，直线：与交于两点，圆过，，交于点，，直线，分别交于另一点，．证明：直线过定点． 3．（2023春·云南曲靖·高二校考期末）已知椭圆的中心在原点，周长为8的的顶点，为椭圆的左焦点，顶点，在上，且边过的右焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆的上、下顶点分别为，，点（，），若直线，与椭圆的另一个交点分别为点，，证明：直线过定点，并求该定点坐标． 4．（2023春·广东揭阳·高二校联考期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，且也是抛物线：的焦点，为椭圆与抛物线在第一象限的交点，且. (1)求椭圆的方程； (2)设动直线与椭圆交于，两点，存在一点使，判断直线是否经过定点?若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由. 题型二 椭圆中的定值问题 5．（2023春·贵州六盘水·高二统考期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆：经过点，且离心率． (1)求的标准方程； (2)经过原点的直线与椭圆交于，两点，是上任意点，设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，证明：是定值． 6．（2023春·福建厦门·高二统考期末）已知点在曲线 上，为坐标原点，若点满足，记动点的轨迹为. (1)求的方程： (2)已知点在曲线上，点，在曲线上，若四边形为平行四边形，则其面积是否为定值?若是，求出定值；若不是，说明理由 7．（2023春·广西南宁·高二校考期末）已知椭圆：的一个端点为，且离心率为，过椭圆左顶点的直线与椭圆交于点，与轴正半轴交于点，过原点且与直线平行的直线交椭圆于点，．    (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：为定值． 8．（2023春·江西上饶·高二统考期末）已知椭圆（，）的离心率为，左、右焦点分别为，，为的上顶点，且的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)设圆上任意一点处的切线交椭圆于点、．求证：为定值． 题型三 椭圆中的定直线问题 9．（2023春·江苏镇江·高二校考期末）如图，在中，，若以所在直线为轴，以的中垂线为轴，建立平面直角坐标系.设动顶点. (1)求顶点A的轨迹方程； (2)记第（1）问中所求轨迹曲线为，设，过点作动直线与曲线交于两点（点在轴下方）.求证：直线与直线的交点在一条定直线上. 10．（2023·北京海淀·校考模拟预测）已知曲线． (1)若曲线C是椭圆，求m的取值范围． (2)设，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线与曲线C交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点G．试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 11．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知椭圆的左、右顶点分别为，，过点的直线l与椭圆C交于异于，的M，N两点，当l与x轴垂直时，． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与直线交于点P，证明点P在定直线上，并求出该定直线的方程． 12．（2023春·河南安阳·高三校考阶段练习）已知椭圆C：的离心率为，且为C上一点． (1)求C的标准方程； (2)点A，B分别为C的左、右顶点，M，N为C上异于A，B的两点，直线MN不与坐标轴平行且不过坐标原点О，点M关于原点О的对称点为，若直线与直线BN相交于点P，直线OP与直线MN相交于点Q，证明：点Q位于定直线上． 题型四 双曲线中的定点问题 13．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知双曲线：（，）的离心率为，右顶点到渐近线的距离等于. (1)求双曲线的方程. (2)点，在上，且，直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 14．（2023春·湖南岳阳·高二统考期末）已知双曲线，四点，，，中恰有三点在双曲线上. (1)求的方程； (2)设直线不经过点且与相交于两点，若直线与直线的斜率的和为证明：过定点. 15．（2023春·上海嘉定·高二校考阶段练习）双曲线C：的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交双曲线C于B，D两点，且是直角三角形． (1)求双曲线C的标准方程； (2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率为k1，k2，若，试问：直线MN是否经过定点？证明你的结论． 16．（