第41讲：对数函数及其性质-【暑假辅导】2023年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019）

第四十一讲：对数及其运算性质 【教学目标】 1.理解对数函数的概念； 2.会求与对数函数有关的定义域问题； 3.初步掌握对数函数的图象和性质； 4.会类比指数函数研究对数函数的性质； 5.掌握对数函数的图象和性质的简单应用； 6.利用单调性进一步求函数的定义域和简单值域问题； 7.了解反函数的概念和图象特点． 【基础知识】 一、对数函数的概念 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 注意点： (1)对数函数的系数为1；(2)真数只能是一个；(3)底数与指数函数的范围相同；(4)对于函数等这一类的函数，根据对数的运算法则，它可以化为对数函数，因为它与对数函数有相同的定义域和对应关系，故函数相等． 二、对数函数的图象和性质 底数 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 最值 无最大、最小值 奇偶性 非奇非偶函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数与的图象关于轴对称 注意点： (1)函数图象只出现在y轴右侧；(2)对任意底数a，当x＝1时，y＝0，故过定点(1,0)；(3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近x轴；(4)当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴；(5)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称． 【题型目录】 考点一：对数函数的概念 考点二：求对数函数解析式 考点三：求对数函数值 考点四：对数函数的定义域 考点五：抽象函数的定义域 考点六：对数函数恒过定点 考点七：对数函数图象 考点八：已知图象求参的范围 考点九：对数函数的值域 考点十：复合函数单调性 考点十一：复合对数函数值域 考点十二：换元法求对数型函数值域 考点十三：已知对数型函数单调区间求参 考点十四：取中间值比较大小 考点十五：扩倍数比较大小 考点十六：构造函数比较大小 考点十七：已知对数函数值域求参 考点十八：分段函数值域范围求参 考点十九：对数型函数的值域为求参 考点二十：已知分段值域为求参 考点二十一：对数函数恒成立与能成立问题 考点二十二：简单对数不等式求解 考点二十三：利用函数性质求不等式 考点二十四：反函数 考点二十五：不同函数的增长差异 考点二十六：对数函数的综合应用 【考点剖析】 考点一：对数函数的概念 例1．给出下列函数： ①；②；③；④. 其中是对数函数的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式训练1．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式训练2．已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（ ） A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ 变式训练3．若函数为对数函数，则（ ） A． B． C． D． 考点二：求对数函数解析式 例2．对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（ ） A．y＝log5x B．y＝ C．y＝ D．y＝log3x 变式训练1．若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（ ） A． B． C．或 D．不确定 变式训练2．若函数的图象过点，则（ ） A．3 B．1 C．-1 D．-3 变式训练3．已知函数，若图象过点，则的值为（ ） A． B．2 C． D． 考点三：求对数函数值 例3．已知函数且，则（ ） A． B．16 C．26 D．27 变式训练1．已知函数则（ ） A． B． C．2 D．4 变式训练2．设，若，则（ ） A． B．0 C．1 D．2 变式训练3．已知，且，函数，若，则（ ） A． B． C．3 D．7 考点四：对数函数的定义域 例4．函数的定义域（ ） A． B． C． D． 变式训练1．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 变式训练2．函数的定义域为（ ）. A．且 B． C． D． 变式训练3．函数的定义域为（ ）． A． B． C． D． 考点五：抽象函数的定义域 例5．已知函数，则的定义域为（ ） A． B． C． D． 变式训练1．已知函数，则函数的定义域是（ ） A．或 B． C． D． 变式训练2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 变式训练3．函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（ ）． A． B． C． D