1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系(第二课时)课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何 1.4空间向量的应用(1) 一用空间向量研究直线、平面的位置关系 第二课时 导入新课： 1.确定直线的方向向量的 常用方法 在直线上取两点A,B,则8或B就是直线的一个方向向量. 2确定平面的法向量的常用方法 (1)直接法：根据立体几何中直线与平面的垂直的判定定 理得到平面的垂线，取该垂线的方向向量，即 为平面的法向量 (2)方程组法：一般步骤 ①设平面的法向量为元=(x,y,z: ②找出求出平面内两个不共线的向量ā=(x,y,z), b=(x2,y2,225 n.a=0 ③根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组 i.b=0 ④利用赋值法解方程组得平面得一个法向量 3.利用赋值法解方程组 方程组有三个未知数，只有两个方程，方程组的解不唯一， 也说明了法向量不唯一，只需取最简单得即可. 解时，给其中一个未知数赋值，解出另外两个未知数即可 注意： ①y还可以取其他值，但不能是0： ②也可以对x,或z赋值； 一 般赋值时尽量保证x,y,z∈Z,且数不要太大， 这样求出的法向量在以后的解题中运算更为简 单 4.空间直线、平面的平行 关系有几种？ 学习新课： 我们知道，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中 的直线和平面的关键量那么是否能用这些向量来刻画空 间直线、平面平行、垂直关系呢？ 思考 由直线与直线、直线与 平面或平面与平面的平 行关系，可以 得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么 关系？ 如图，设远，远，分别是直线l,l,的方向向量。 由向量的定义可知，如果两条直线平行， 那么它们的方向向量一定平行： 反过来，如果两条直线的方向向量平行， 那么这两条直线也平行 用向量刻画线线平行： 9∥台eR,使得元=证，./ 类似地， 如图， 设立是直线的方向向量，是平面α的 法向量.l丈o 用向量刻画线面平行： l∥台u⊥n台i.n=0 如图，设元，元2分别是平面，B的法向量 用向量刻画面面平行： ∥B台元∥i2台 入∈R,使得i,=入i2. 用向量刻画空间中直线、平面的平行关系注意 点： ()空间平行关系的本质是线线平行，根据共线向量定理， 只需证明直线的方向向量远，∥远，.证明线面平行也可用 共面向量定理，即只要证明这条直线的方向向量能够 用平面内的两个不共线的向量线性表示即可. (2)利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平 面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面 无公共点，证明平面与平面平行时也要注意两平面没 有公共点 思考2 用向量的坐标如何刻画 直线、平面的平行关系？ (1)设直线1，和1的方向向量分别是1=(x,y,乙1)，2=(x2,y2,22 则1∥l,台元∥2台孔∈R,使得=元 台(x,,Z)=2(x2y2,z2)台x=2x2,y=y2,1=2z2 (2)设不在平面内的直线的方向向量为i=(a1,b,c), 平面a的法向量为i=(a2,b2,c2),则 1∥台i⊥i台i.i=0台aa2+b,b2+cc2=0 (3)设平面u,的法向量分别为元，=(x1,y,21),2=(x2,y2,z2 则 a∥B台元∥元2台3入∈R,使得i=2i2: 台(x1,y1,Z)=x2,2,22)台x=2x2,y=y2,名=元22 例题分析： 例2.证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两 条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 已知：如图，acB,bcB,a∩b=P,a∥a, b∥0， 求证：∥B 分析： 用向量证明面面平行关系时，应先 取一个平面的法向量，再证这个法向 量也时另一个平面的法向量 设平面c的法向量为n,直线a,b的方向向量分别为i,. 由条件可知n·u=n.正=0，由此可证明垂直于平面B内的 任意一个向量.即也是B的法向量， 证明： 如图，取平面的法向量为元，直线 a,b的方向向量分别为i,立. a∥，b∥， ∴.n.i=i.下=0， acB,bcB,a∩b=P, ∴对于任意点Q∈B,存在x,y∈R,使得P=xi+y ..ipo=i.(xu+yv) =xn.u+yn.v =0 .向量也是平面B的法向量， ∴.o∥B 例3.如图，在长方体ABCD-AB,C,D,中， AB=4,BC=3,CC,=2. 线段B,C上是否存在点P,使得 A,P∥平面ACD,? 分析： 存在性问题，先假设存在，若求出，则 存在，若不能求出来，则不存在. 根据条件建立适当的空间直角坐标系， 那么问题中涉及的点、向量BS迟以及平面ACD,的法向量元 等都可以用坐标表示.如果点P存在，那么就有方·迟=0， 由此通过向量的坐标运 算可得结果