2023年上海市九年级数学中考复习几何专题—4角平分线

2023年上海市初中几何专题4角平分线 例1(1)如图(a,在△ABC中，∠C-90°，AD平分∠CAB,BC-6cm,BD=4cm,那么点D 到直线AB的距离是 cm (2)如图(b),已知：∠1=∠2，∠3=4，求证：AP平分∠BAC (6) 例2如图(a),Rt△ABC中，∠ACB90°，CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD 于点E,交CB于点F (1)求证：CE=CF: (2)将图(a)中的△ADE沿AB向右平移到△A'D'E'的位置，使点E'落在BC边上，其他 条件不变，如图(b)所示，试猜想：BE'与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论 (b) 例3阅读下列学习材料： 如图(a)所示，OP平分∠MON,A为OM上一点，C为OP上一点，连接AC,在射线 ON上截取OB=OA,连接BC(如图(b),易证△AOC兰△BOC (a) (b) D (e) (d) 请根据上面的学习材料，解答下列各题： (1)如图(c)所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意 一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由 (2)如图(d)所示，AD是△ABC的内角平分线，其它条件不变，试比较PCPB与AC4B的 大小，并说明理由 例4如图(a),已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC,BD平分∠ABC, CE⊥BD,垂足为点E,求证：BD-2CE 例5(1)如图(a),BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点4A作AD⊥BD,AE⊥CE, DE=(4B+BC+AC) 垂足分别为D、E,连接DE,求证：DEBC, 2 (2)如图(c),BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其它条件不变， 则在图(b)、图(c)两种情况下，DE与BC还平行吗？它与△ABC三边又有怎样的 数量关系？请写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明 (a) (b) (e) 例6如图(a),AB=AC,BD.CD分别平分∠ABC,∠ACB,问： (1)图(a)中有几个等腰三角形？ (2)过D点作EFBC,如图(b),交AB于点E,交AC于点F,图中又增加了几个等腰三角 形？ (3)如图(c),若将题中的△ABC改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角 形？直接写出线段EF与BE、CF有什么关系？ (4)如图(dD,BD平分∠ABC,CD平分外角∠ACG,DEBC交AB于点E,交AC于点F, 线段EF与BE、CF有什么关系？并说明理由 (5)如图(e),BD、CD为外角∠CB卧M、∠BCN的平分线，DENBC交AB延长线于点E,交 AC延长线于点F,直接写出线段EF与BE、CF有什么关系？ (a) (b) (e) C G (d) (e 例7如图(a)所示，已知△ABC中，AC=BC,∠C-90°，AD平分∠CAB,求证：AB=AC +CD 变式1如图所示，已知△ABC中，AB=AC,∠A=108,BD平分∠ABC,求证：BC=AB+CD 变式2如图所示，己知△ABC中，ABAC,∠A-1O0,BD平分∠ABC,求证：BC-BD+AD 例8如图(a),OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全 等三角形请你参考下图构造全等三角形的方法，解答下列问趣： (1)如图(b),在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平 分线，AD、CE相交于点F,请你判断写出FE与FD之间的数量关系： (2)如图(c),在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其他条件不变，请问，你在 (1)中所得结论是否依然成立？若成立请证明：若不成立，请说明理由 M (b》 (e) 【练习题】 L.(I)如图()，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F,过点F作DE/BC, 交AB于点D,交AC于点E,若BD+CEO,则线段DE之长为 (2)如图(b),在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB,DEAB,FDAC,如果BC-6, 求aDEF的周长 2.已知：如图，∠BAD∠CAD,ABAC,CD L AD于点D,H是BC中点，求证： DH-(4B-AC) 0 H 3.已知：如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，BC=CD,求证：AC平分∠BAD B 4如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P,连接AP、CP, 若∠BPC=40°，求∠CAP的度数 B D 5.已知：如图，在四边形中，BC>AB,AD=CD,BD平分∠ABC,求证：∠A+∠C=18O° 6在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F (1)在图(a)中证明CE-CF: (2)若∠ABC-9